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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 10

Seja e 1 , … , e n a base canônica do R n . Seja F : R n → R n o operador linear dado por F e 1 = e 2 ,   F e 2 = e 3 , … , F e n = e 1 . Determinar F x 1 , … , x n e verificar se F é um automorfismo. Se for, ache o automorfismo inverso.

Passo 1

Vamos lá! Nosso primeiro passo é determinar a transformação F x 1 , … , x n . Precisamos dela para conseguir determinar todos os outros passos.

Primeiro, temos que entender que o termo x 1 , … , x n que está na nossa transformação seria as coordenadas de um vetor v , isto é v = x 1 , … , x n , em relação a base β = e 1 , … , e n . Temos que fazer esta consideração para poder continuar trabalhando.

Juntando estas informações, o que temos é exatamente o seguinte:

F x 1 , … , x n = F v = F x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + x n e n

Aplicando as propriedades dos operadores lineares,

F x 1 e 1 + F x 2 e 2 + … + F x n e n

x 1 F e 1 + x 2 F e 2 + … + x n F e n

x 1 e 2 + x 2 e 3 + … + x n - 1 e n + x n e 1 = x n , x 1 , x 2 … , x n - 1

Portanto, o operador que estamos buscando é:

F x 1 , … , x n = x n , x 1 , x 2 … , x n - 1

Passo 2

Após obtermos o operador linear, podemos continuar com a análise da questão. A segunda pergunta que temos que responder é se F é um automorfismo.

Para que F seja um automorfismo, F deve ser injetora. Novamente, para que isto ocorra o núcleo de F deve ter dimensão 0.

Logo, o que iremos checar é o núcleo a sua dimensão. Lembrando, o núcleo é o conjunto dos vetores v = a 1 , a 2 , … , a n tais que F v = 0 . Aplicando a nossa operação,

F v = a n , a 1 , a 2 , … , a n - 1 = 0,0 , 0 , … , 0

A relação acima só será satisfeita se a 1 , a 2 , … , a n = 0 , o que implica em v ser o vetor nulo.

Então, se v = 0 , o núcleo de F também terá dimensão 0. Automaticamente, temos que F é injetora e é um automorfismo sim!

Passo 3

Agora que sabemos que F é um automorfismo, podemos nos preocupar em calcular o seu automorfismo inverso. Este procedimento é padrão para qualquer espaço. Sempre teremos que fazer o mesmo procedimento.

O procedimento é o seguinte, o que queremos descobrir é F - 1 x 1 , x 2 , … , x n = a 1 , a 2 , … , a n (queremos este a 1 , a 2 , … , a n ). Esta relação será verdade se x 1 , x 2 , … , x n = F a 1 , a 2 , … , a n .

A relação que fizemos acima foi feito pela definição do operador inverso. Se F u = v , então F - 1 v = u .

Bom, continuando, temos:

F a 1 , a 2 , … , a n = x 1 , x 2 , … , x n

F a 1 , a 2 , … , a n = a n , a 1 , … , a n - 1 = x 1 , x 2 , … , x n

Portanto, temos x 2 = a 1 , x 3 = a 2 , … , x n = a n - 1 e x 1 = a n . Portanto, o automorfismo inverso que buscamos é:

F - 1 x 1 , x 2 , … , x n = x 2 , x 3 , … , x n , x 1

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

O operador é: F x 1 , … , x n = x n , x 1 , x 2 … , x n - 1 . Ele é um automorfismo e o automorfismo inverso é dado por: F - 1 x 1 , x 2 , … , x n = x 2 , x 3 , … , x n , x 1 .

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