Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 8
Sejam vetores tais que é uma base do . Sendo uma transformação linear, mostrar que uma das seguintes alternativas se verifica:
- é LI;
Passo 1
Vamos lá! A questão faz uma confusão danada para simplesmente querer que nós chequemos a dimensão da imagem da transformação .
Se a dimensão da imagem for igual a 2, teremos automaticamente que é LI.
Em relação a letra b), não tem nem o que falarmos, ela pede para falar que , que é exatamente o que estamos falando.
Por fim, para a letra c), se , a sua dimensão é exatamente igual a 0.
Portanto, o que temos que mostrar nesta questão é que a dimensão da imagem pode variar entre 0, 1 e 2, a depender da transformação .
Passo 2
Agora que sabemos o que temos que fazer, fica uma sutil pergunta: como fazer?
Teremos que utilizar o teorema do núcleo e imagem para solucionarmos este problema. Lembrando que a nossa transformação é , pelo teorema, temos:
Tudo agora dependerá da nossa transformação e do seu núcleo. Se o núcleo tiver dimensão 0, teremos:
O que corresponde ao caso da letra a). Já se o núcleo tiver dimensão 1, teremos:
O que corresponde ao caso da letra b). Por fim, se o núcleo tiver dimensão 2, teremos:
O que corresponde a letra c).
Vocês podem até se questionar: e se o núcleo tiver dimensão maior que 2, e assim implicaria em uma dimensão negativa da imagem? Bom, o problema é que isto é impossível de ocorrer, pois a dimensão de um espaço vetorial nunca é menor do que 0.
Concluímos assim a questão mostrando que todos os três casos são possíveis de ocorrer. Tudo depende de quem é a transformação .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)