Verifique se as bases E = ( e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 ) e F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 são concordantes ou discordantes.

a) f → 1 = 2 e → 1 - e → 2 - e → 3 f → 2 = e → 1 - e → 3 f → 3 = e → 2

b) f → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 f → 2 = e → 1 - e → 2 + e → 3 f → 3 = e → 1 + e → 2 - e → 3

c) f → 1 = e → 1 f → 2 = e → 2 + e → 3 f → 3 = e → 1 + e → 2

Passo 1

Para verificar se as bases são concordantes ou não, precisamos calcular o determinante da matriz de mudança de base M E F em que as colunas são as coordenadas dos vetores f → i na base E .

No item (a),

M E F = 2 1 0 - 1 0 1 - 1 - 1 0

Calculando o determinante:

det ⁡ M E F = 2 ⋅ 0 + 1 - 1 ⋅ 0 + 1 = 2 - 1 = 1 > 0

Como o determinante é positivo, as bases são concordantes.

Passo 2

Já no item (b),

M E F = 1 1 1 1 - 1 1 1 1 - 1

Assim,

det ⁡ M E F = 1 ⋅ 1 - 1 - 1 ⋅ - 1 - 1 + 1 ⋅ 1 + 1 = 0 + 2 + 2 = 4 > 0

Logo, as bases são concordantes.

Passo 3

Por fim, no item (c)

M E F = 1 0 1 0 1 1 0 1 0

Portanto,

det ⁡ M E F = 1 ⋅ 0 - 1 = - 1 < 0

Desta forma, as bases são discordantes.

Resposta

Concordantes: (a) e (b)

Discordantes: (c)

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