Os vetores não-nulos r → e w → são paralelos. Considere as bases E = u → ,   v → ,   w → e F = u → ,   v → ,   r → . Mostre que E e F são concordantes se, e somente se, r → e w → são de mesmo sentido.

Passo 1

Bom, aqui o primeiro passo é usar o fato que r → e w → serem paralelos:

r → = a   w →

Se a > 0 , eles tem mesmo sentido.

Para que as bases sejam concordantes, a matriz de mudança de base E para F deve ser tal que seu determinante seja positivo. As colunas dessa matriz são as coordenadas dos vetores de F na base E :

u → = 1 ,   0 ,   0 E

v → = 0 ,   0 ,   1 E

r → = a   w → = 0 ,   0 ,   a E

Assim,

M E F = 1 0 0 0 1 0 0 0 a

Passo 2

O determinante da matriz é

det ⁡ M E F = 1 ⋅ 1 ⋅ a = a

Assim, como as bases são concondante se, e somente se, o determinante é maior que zero:

det ⁡ M E F > 0 ⟺ a > 0

Desta forma, provamos que isso só ocorre se os vetores tiverem mesmo sentido!

Resposta

Demonstração.

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