Os vetores não-nulos e são paralelos. Considere as bases e . Mostre que e são concordantes se, e somente se, e são de mesmo sentido.
Passo 1
Bom, aqui o primeiro passo é usar o fato que e serem paralelos:
Se , eles tem mesmo sentido.
Para que as bases sejam concordantes, a matriz de mudança de base para deve ser tal que seu determinante seja positivo. As colunas dessa matriz são as coordenadas dos vetores de na base :
Assim,
Passo 2
O determinante da matriz é
Assim, como as bases são concondante se, e somente se, o determinante é maior que zero:
Desta forma, provamos que isso só ocorre se os vetores tiverem mesmo sentido!
Resposta
Demonstração.