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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 120

Sejam: e a excentricidade de uma curva C (elipse ou hipérbole), F um foco, r a diretriz associada a F , e m a distância de F a r . Exprima a , b e c em função de e , m nos casos:

  1. C é uma elipse;
  2. C é uma hipérbole.

Passo 1

  1. Consideremos a elipse

    2. x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

    Com um dos focos F = c ,   0 . A diretriz associada é x = a / e .

    Temos que

    m = a e - c ∴ m = a e - a e ⟹ m = a 1 - e 2 e ∴ a = m e 1 - e 2

    c = a e ∴ c = m e 2 1 - e 2

    Por fim,

    b 2 = a 2 - c 2 = a 2 - a e 2 = a 2 1 - e 2 = m e 1 - e 2 2 1 - e 2 ∴ b 2 = m 2 e 2 1 - e 2

    ⟹ b = m e 1 - e 2

    Passo 2

  2. Consideremos a hipérbole:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Com um dos focos F = c , 0 . A diretriz associada é x = a / e .

Temos que

m = c - a e = a e - a e ∴ m = a e 2 - 1 e ⟹ a = m e e 2 - 1

c = a e = m e 2 e 2 - 1

Por fim,

b 2 = c 2 - a 2 = e a 2 - a 2 = a 2 e 2 - 1 = m e e 2 - 1 2 e 2 - 1 ∴ b 2 = m 2 e 2 e 2 - 1

⟹ b = m e 1 - e 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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