9 Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W=U+V. Todo vetor w c W se escreve, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v. Sendo P1 e P2 as projeções dadas por P1(w)=u e P2(w)=v, mostrar que:

Agora vamos calcular . Vamos tomar um vetor qualquer :

Onde e . Lembrando que essa é a única forma de escrever o vetor , com um termo pertencente a e um termo pertencente a .

Para calcular de algum vetor qualquer , precisamos calcular basicamente isso:

Então vamos, calcular a projeção . Sabemos que a projeção 1 pega só a parte do vetor que pertence ao subespaço , então:

Agora precisamos calcular a projeção 2 desse vetor para obter :

A projeção 2 pega os valores do vetor que fazem parte de , mas , pois , dessa forma:

Com isso concluímos que