Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 9a

9 Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W=U+V. Todo vetor w c W se escreve, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v. Sendo P1 e P2 as projeções dadas por P1(w)=u e P2(w)=v, mostrar que:

Passo 1

Vamos tomar um vetor qualquer w :

w = u + v

Onde u ∈ U e v ∈ V

Calculando a projeção P 1 w . Sabemos que a projeção 1 pega só a parte do vetor que pertence ao subespaço U , então:

P 1 w = u

Agora precisamos calcular mais uma vez a projeção 1 desse vetor para obter P 1 2 :

P 1 2 w = P 1 P 1 w

P 1 2 w = P 1 u

A parte desse vetor contida em U é o próprio vetor, pois u ∈ U , logo

P 1 2 w = u

Com isso concluímos que

P 1 2 = P 1

Passo 2

Agora vamos mostrar que P 2 2 = P 2 . Vamos tomar um vetor qualquer w :

w = u + v

Onde u ∈ U e v ∈ V

Calculando a projeção P 2 w . Sabemos que a projeção 2 pega só a parte do vetor que pertence ao subespaço V , então:

P 2 w = v

Agora precisamos calcular mais uma vez a projeção 2 desse vetor para obter P 2 2 :

P 2 2 w = P 2 P 2 w

P 2 2 w = P 2 v

A parte desse vetor contida em V é o próprio vetor, pois v ∈ V , logo

P 2 2 w = v

Com isso concluímos que

P 2 2 = P 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja M 22 → M 22 o operador linear definido por T X = 1 1 0 0 X + X 0 0 1 1 Encontre o posto e a nulidade de T
(O Teorema da Alternativa de Fredholm) Seja T : V → V um operador linear num espaço vetorial de dimensão n . Prove que vale exatamente uma das duas afirmações seguintes.A equação T x → = b → tem algum
Sejam x 1x 2x 3 números reais distintos tais que x 1x 2x 3 E T : P 2 → R 3 a função definida pela fórmula T p x = p x 1 p x 1 p x 3 Mostre que T é uma transformação linearMostre que T é injetoraMostre
Mostre que as matrizes 1 1 - 1 4 2 1 1 3 São semelhantes, mas que: 3 1 - 6 - 2 - 1 2 1 0 Não são
Suponha que uma matriz simétrica A tenha autovalores distintos λ 1 = 8 ,λ 2 = 1,4 ,λ 3 = 2,3eλ 4 = - 8,1 . O que você pode dizer sobre a convergência dos quocientes de Rayleight