Enunciado

Existe alguma matriz inversível A tal que A 2 = 0 (matriz nula)? Justifique.

Passo 1

Vamos pensar juntinhos, se uma matriz A é inversível, então vamos supor que sua inversa seja a matriz B . Assim, por definição,

A B = B A = I

Ou seja,

A B = I

Agora vamos multiplicar à esquerda por A   ambos os lados da igualdade,

A A B = A I ⟺ A 2 B = A

Porém A 2 = O   , então

0 B = A

Isto é,

A = 0

Mas a matriz nula não é inversível. Logo, não há tal matriz A .

Beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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