Sejam A e B matrizes n × n . Mostre que A B e B A possuem os mesmos autovalores. (Sugestão: Separe em dois casos: λ = 0 e λ ≠ 0 . No segundo caso, mostre que se V é autovetor de A B , então B V é autovetor de B A .)

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 22

Sejam e matrizes . Mostre que e possuem os mesmos autovalores. (Sugestão: Separe em dois casos: e. No segundo caso, mostre que se é autovetor de , então é autovetor de .)

Passo 1

Olá, gente! Tudo bom com vocês? Então, vamos Responder mais uma questão Aí? Vamos!

Seguindo a sugestão do livro, vamos começar considerando que e tem o mesmo autovalor . Então, lembrando que o determinante da matriz é igual a multiplicação dos seus autovalores (dá uma olhadinha na questão 6.1.18a), temos

Já que , então tem autovalor .

Passo 2

Agora, vamos considerar o caso . Se é autovetor de , então vale

Vamos aplicar a matriz na equação acima:

Ou seja, é é autovetor de com autovalor . O que importa aqui pra gente é que mostramos que e tem o mesmo autovalor, mesmo que seja para autovetores diferentes. Sacou? Então, nos vemos na próxima.

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Se os vetores não nulos U , V e W são L.D., então W é uma combinação linear de U e V .

Suponha que { V 1 ,V 2 ,. . ., V n} é um conjunto de vetores de R n linearmente independente. Mostre que se A é uma matriz não singular, então { A V 1 , A V 2 ,. . ., A V n} também é um conjunto linea

Seja A = ⎜a b⎜⎜ ⎜ ⎜c d⎜⎜ ⎜Ache condições necessárias e suficientes para que A seja diagonalizável.

Suponha que duas matrizes n × n A e B são tais que B = α A , para um escalar a α ≠ 0 . Mostre que se λ é autovalor de uma matriz A , então α λ é autovalor de B .

Mostre que se V é autovetor de A , então V é autovetor de A k . Com qual autovalor?