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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 12

Seja λ um autovalor (fixo) de A . Demonstre que o conjunto formado por todos os autovetores de A associados a λ , juntamente com o vetor nulo, é um subespaço de R n . Este subespaço é chamado de autoespaço associado a λ . Em outras palavras, combinação linear de autovetores associados a um mesmo autovalor é um autovetor associado a esse mesmo autovalor.

Passo 1

E aí, pessoal! Ficaram confusos com essa questão? Eu sei, eu sei, parece bem complicada. Mas, vamos focar na última frase do enunciado: “combinação linear de autovetores associados a um mesmo autovalor é um autovetor associado a esse mesmo autovalor”. Então, vamos fazer o seguinte: A tem que ter n autovetores distintos, mas não necessariamente n autovalores. Podemos ter mais de um autovetor associado ao mesmo autovalor. Então, digamos que temos k autovetores de A associados a λ . Lógico que k < n para tudo fazer sentido. Assim, temos

A X 1 = λ X 1 ,   . . .   ,   A X k = λ X k

Passo 2

Agora, vamos escrever um vetor V como combinação linear dos [ 0 ̄ ,   X 1 ,   . . .   ,   X k ] :

V = α 1 X 1 + ⋯ + α k X k

Quando aplicamos A no vetor V , obtemos

A V = A [ α 1 X 1 + ⋯ + α k X k ] = α 1 A X 1 + ⋯ + α k A X k = α 1 λ X 1 + ⋯ + α k λ X k = λ [ α 1 X 1 + ⋯ + α k X k ] = λ V

⇒ A V = λ V

Opa! Quer dizer então que V é autovetor de A com autovalor λ . Então, [ 0 ̄ ,   X 1 ,   . . .   ,   X k ] é um subespaço de R n chamado de autoespaço associado a λ .

Espero que vocês tenham gostado dessa resolução e até a próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Quais dos seguintes conjuntos de vetores do R^4 são L D ?(2 , 1 , 0 , 0) , (1 , 0 , 2 , 1) , (- 1 , 2 , 0 , - 1) (0 , 1 , 0 , - 1) , (1 , 1 , 1 , 1) , (- 1 , 2 , 0 , 1) , (1 , 2 , 1 , 0) (1 , - 1 , 0
Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P 2 são L D ? 2 + x - x 2 ,- 4 - x + 4 x 2 , x + 2 x 2 1 - x + 2 x 2 ,x - x 2 ,x 2 1 + 3 x + x 2 ,2 - x - x 2 ,1 + 2 x - 3 x 2 ,- 2 + x + 3 x 2
Classificar os seguintes subconjuntos do R^3 em L I ou L D .{(2 , - 1 , 3)} {(1 , - 1 , 1) , (- 1 , 1 , 1)} { (2 , - 1 , 0) , (- 1 , 3 , 0) , (3 , 5 , 0) } {(2 , 1 , 3) , (0 , 0 , 0) , (1 , 5 , 2)} {
Os vetores V 1 = ( 5 , - 3,1 ) , V 2 = ( 0,4 , 3 ) e V 3 = ( - 10,18,7 ) do exercício anterior sao L.D. ou L.I.? Caso sejam L.D. escreva um deles como combinação linear dos outros.
Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes? (b) { ( 1 , - 2 , 3 ) , ( - 2,4 , - 6 ) } .