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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 26a

Mostre que se V é autovetor de A , então V é autovetor de A k . Com qual autovalor?

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo beleza? Então, bora lá!

Bom, se V é autovetor de A com autovalor λ , então

A V = λ V

Se a gente aplicar A novamente, teremos

A ( A V ) = A 2 V = λ A V = λ 2 V

Ou seja, quando aplicamos A duas vezes em V , obtemos λ 2 como autovalor de A 2 . Você consegue notar que vamos ter algo do tipo A k V = λ k V ? A resposta é essa mesmo, mas vamos demonstrar no próximo passo.

Passo 2

Seguindo a indução matemática, vamos supor que, para k - 1 , temos A k - 1 V = λ k - 1 V . Agora, vamos aplicar A novamente em ambos os lados

A ( A k - 1 V ) = λ k - 1 A V ⇒ A k V = λ k V .

Então, então V é autovetor de A k com autovalor λ k , sacou? Muito bem! Até a próxima então!

Resposta

Veja a resolução acima.

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Sejam u → , v → , w → vetores do R n tais que w → = αu → + βv → com α e β reais. Suponha u → e v → unitários ( u → = 1 e v → = 1 ) e ortogonais. Prove que α = u → ⋅ w → e β = v → ⋅ w → .
Sejam u → e v → vetores de R 2 . Dizemos que u → e v → são linearmente independentes se, quaisquer que sejam os reais α e β , se α u → + β v → = 0 → , então α = β = 0 . Prove que u → = u 1 , u 2 e v →
Seja u → , v → , w → vetores qualquer de R 2 . Prove que se u →ev → forem lineamente independentes, então existirão( e serão únicos) reais α e β tais que w → = α u → + β v →
Sejam u → e v → dois vetores unitários e ortogonais do R 2 . Prove que u → e v → são linearmente independentes.
Prove que quaisquer que sejam vec u e vec v em R^3 ||vec u ^ vec v|| = ||vec u|| ||vec v||