Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 20
Seja
Ache condições necessárias e suficientes para que A seja diagonalizável.
Passo 1
Fala aiii, galera! Tudo tranquilo? Espero que sim.
Bom, uma matriz é diagonalizável se ela for semelhante a uma matriz diagonal, ou seja, se onde é uma matriz diagonal. Nesse caso, os elementos de são os autovalores :
Então, precisamos que a matriz tenha dois autovalores distintos.
Passo 2
O polinômio característico de é
Veja que nós obtivemos um polinômio de segundo grau e precisamos de duas raízes diferentes, que vão ser os dois autovalores distintos da matriz. Assim, o discriminante deve ser positivo:
Essa condição é necessária e também suficiente para que a matriz seja diagonalizável.
Resposta
Veja a resolução acima.
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Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = ‖vec v‖ - ‖vec u‖
Seja vec u = (u_1 , u_2 , u_3) um vetor qualquer de R^3 . Mostre que ‖vec u‖ = |u_i| , i = 1,2 , 3 .
Sejam vec u e vec v vetores quaisquer do R^n . Prove que:vec u _|_ vec v ⟺ ‖vec u + vec v‖^2 = ‖vec u‖^2 + ‖vec v‖^2
Sejam vec u = (u_1 , u_2 , ... , u_n) e vec v = (v_1 , v_2 , ... , v_n) vetores quaisquer do R^n . Mostre que‖vec u - vec v‖ = |u_i - v_i| , i = 1,2 , ... , n
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .