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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 11

Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que se A + B e A forem invertíveis, então

A + B - 1 = A - 1 I n + B A - 1 - 1 .

Passo 1

Fala aeeeee, tudo tranquilo?

Do enunciado tiramos que A é invertível e A + B também o é. Portanto:

A . A - 1 = I n

A + B A + B - 1 = I n ; E q u a ç ã o   1

Como A + B - 1 = A - 1 I n + B A - 1 - 1 , substituindo na equação 1:

A + B A - 1 I n + B A - 1 - 1 = I n

Passo 2

Aplicando a propriedade distributiva:

( A - 1 A + B A - 1 ) I n + B A - 1 - 1 = I n

Como A - 1 A = I n , temos:

( I n + B A - 1 ) I n + B A - 1 - 1 = I n

I n = I n

Assim,

A + B - 1 = A - 1 I n + B A - 1 - 1

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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Mostre que se B é uma matriz invertível, então A B - 1 = B - 1 A se, e somente se, A B = B A . (Sugestão: multiplique a equação A B = B A por B - 1 ).
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