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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 12

Seja J n a matriz n   x   n , cujas entradas são iguais a 1. Mostre que se n > 1 , então

I n - J n - 1 = I n - 1 n - 1 J n

Passo 1

Fala aeeeee, tudo tranquilo?

Do enunciado tiramos que existe uma matriz I n - J n cuja sua inversa é:

I n - J n - 1 = I n - 1 n - 1 J n

Aplicando a definição da inversa:

I n - J n I n - J n - 1 = I n

I n - J n I n - 1 n - 1 J n = I n

Passo 2

Aplicando a propriedade distributiva:

I n 2 - I n J n n - 1 - J n I n + J n 2 n - 1 = I n

Como I n 2 = I n e J n 2 = n J n , temos:

I n - I n J n n - 1 - J n I n + n J n n - 1 = I n

J n n - I n - I n n - 1 = 0

Assim,

n - I n - I n n - 1 = 0

n = I n n

I n = 1

Como as entradas são iguais a 1:

det ⁡ I n = 1

Portanto:

I n - J n - 1 = I n - 1 n - 1 J n

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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