Sejam A uma matriz m   x   n e B uma matriz n   x   m , com n A B não é invertível. (Sugestão: Mostre que o sistema A B X = 0 tem solução não trivial.)

Passo 1

Fala aeeeee, tudo tranquilo?

Todo sistema homogêneo possui pelo menos a solução trivial, vamos conferir:

Vamos supor uma matriz A n   x   n invertível e um sistema associado A X = B :

A X = B   ( x   A - 1 )

A - 1 A X = A - 1 B

( A - 1 A ) X = A - 1 B

Como A é invertível:

X = A - 1 B

Essa é a única solução para o sistema homogêneo

Passo 2

Como possui solução única, a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema [ A | B ] é da forma:

R S ; R = I n

Isso acontece, pois A é uma matriz quadrada e caso R fosse diferente da identidade possuiria uma linha de zero, uma solução não trivial.

Passo 3

Agora, vamos analisar nosso enunciado.

Temos a matriz A m   x   n uma matriz não quadrada.

Portanto, o sistema A B X = 0 tem solução não trivial e A B não é invertível.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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