Enunciado

Sejam U 1 , U 2   e   U 3 três vetores unitários mutuamente ortogonais. Se A = [ U 1 , U 2 , U 3 ] é uma matriz 3 x 3 cujas colunas são os vetores U 1 , U 2   e   U 3 , então A é invertível e A - 1 = A t .

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bem? 😊

Três vetores unitários mutuamente ortogonais podem ser representados pelos vetores canônicos. Logo:

i → = ( 1,0 , 0 )

j → = ( 0 , 1 , 0 )

k → = ( 0 , 0 , 1 )

Passo 2

Como A = [ U 1 , U 2 , U 3 ] , então:

A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Pela definição de matriz invertível, temos que:

A . A - 1 = I n

Portanto:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 a b c x y z d e c = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Resolvendo a multiplicação de matrizes:

a b c x y z d e c = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Logo, temos que A - 1 vale:

A - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Fazendo a matriz transposta de A - 1 :

A t = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Portanto:

A - 1 = A t

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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