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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 1c

Sejam A = ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) , B = ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) , C = ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]) , a = 4 e b = - 7 , mostre que (a + b) C = a C + b C

Passo 1

Esse problema aborda, de maneira não generalizada, a demonstração de algumas propriedades algébricas. Nesse caso, vamos mostrar que (a + b) C = a C + b C . Para isso, vamos resolver os dois lados da equação e comparar para ver se são, de fato, iguais.

Assim, montemos o primeiro lado:

(4 + ( - 7 )) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

E o segundo:

4 ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]) + ( - 7 ) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

Passo 2

Resolvendo o primeiro lado, temos:

(4 + ( - 7 )) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

- 3 ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

([[(- 3),xx,0,(- 3),xx,(,-,2,),(- 3),xx,3],[(- 3),xx,1,(- 3),xx,7,(- 3),xx,4],[(- 3),xx,3,(- 3),xx,5,(- 3),xx,9]])

([[0,6,-,9],[-,3,-,21,-,12],[-,9,-,15,-,27]])

Passo 3

Resolvendo o segundo lado da equação:

4 ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]) + ( - 7 ) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

([[4,xx,0,4,xx,(,-,2,),4,xx,3],[4,xx,1,4,xx,7,4,xx,4],[4,xx,3,4,xx,5,4,xx,9]]) + ([[(- 7),xx,0,(- 7),xx,(,-,2,),(- 7),xx,3],[(- 7),xx,1,(- 7),xx,7,(- 7),xx,4],[(- 7),xx,3,(- 7),xx,5,(- 7),xx,9]])

([[0,+,0,-,8,+,14,12,-,21],[4,-,7,28,-,49,16,-,28],[12,-,21,20,-,35,36,-,63]])

([[0,6,-,9],[-,3,-,21,-,12],[-,9,-,15,-,27]])

Resposta

Ambos os lados são iguais. Logo, está demonstrado que (a + b) C = a C + b C

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