Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno.

u , v = 1 4 u + v 2 - 1 4 u - v 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Seja u e v qualquer vetor no espaço interno do produto.

O objetivo é mostrar que:

u , v = 1 4 u + v 2 - 1 4 u - v 2

Para qualquer vetor u , temos que:

u = u , u

Ou:

u 2 = u , u

Portanto:

u + v = u + v , u + v 1 2

Temos que:

u + v , u + v = u , u + v + v , u + v

u + v , u + v = u , u + u , v + v , u + v , v

Ou:

u + v , u + v = u 2 + 2 u , v + v 2

Temos também que:

u - v , u - v = u , u - v - v , u - v

u - v , u - v = u , u - u , v - v , u + v , v

Ou:

u - v , u - v = u 2 - 2 u , v + v 2

Portanto:

u + v 2 - u - v 2 = 4 u , v

Ou:

1 4 u + v 2 - 1 4 u - v 2 = u , v

Portanto, a identidade fornecida é válida para vetores em qualquer espaço interno do produto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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