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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 20

Suponha que u ,   v e w sejam vetores tais que

u , v = 2 ,     v , w = - 3 ,     u , w = 5

u = 1 ,     v = 2 ,     w = 7

Em cada parte, calcule a expressão.

  1. u + v , v + w
  2. 2 v - w , 3 u + 2 w
  3. u - v - 2 w , 4 u + v
  4. u + v
  5. 2 w - v
  6. u - 2 v + 4 w

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A expressão dada pode ser escrita como:

u + v , v + w = u , v + w = v , v + w

E sabemos que:

u , v + w = u , v + u , w

Logo:

u + v , v + w = u , v + u , w + v , v + v , w

Sabendo que:

u , v = 2 ,     v , w = - 3 ,     u , w = 5

E:

v , v = v 2 = 2 2 = 4

Temos que:

u + v , v + w = 2 + 5 + 4 + - 3

u + v , v + w = 8

Passo 2

Para o item b temos que:

2 v - w , 3 u + 2 w = 2 v , 3 u + 2 w - w , 3 u + 2 w

2 v - w , 3 u + 2 w = 2 v , 3 u + 2 v , 2 w - - w , 3 u - w , 2 w

Sabemos que:

u , k v = k u , v

Portanto:

2 v , 3 u + 2 v , 2 w - - w , 3 u - w , 2 w = 6 v , u + 4 v , w - 3 - w , u - 2 w , w

Como w , w = w 2 = 7 2 = 49 , temos que:

2 v - w , 3 u + 2 w = 6 2 + 4 - 3 - 3 5 - 2 49

2 v - w , 3 u + 2 w = - 113

Passo 3

Para o item c a, temos que:

u - v - 2 w , 4 u + v = u , 4 u + v - v , 4 u + v - 2 w , 4 u + v

Desenvolvendo, temos que:

u - v - 2 w , 4 u + v = u , 4 u + u , v - v , 4 u - v , v - 2 w , 4 u - 2 w , v

Ou:

u - v - 2 w , 4 u + v = 4 u , u + u , v - 4 v , u - v , v - 8 w , u - 2 w , v

Logo:

u - v - 2 w , 4 u + v = 4 1 + 2 - 4 2 - 4 - 8 5 - 2 - 3

u - v - 2 w , 4 u + v = - 40

Passo 4

Para o item d , temos que:

u + v = u + v , u + v 1 2

Vamos encontrar:

u + v , u + v = u , u + v + v , u + v

u + v , u + v = u , u + u , v + v , u + v , v

Portanto:

u + v , u + v = 1 + 2 + 2 + 4

u + v , u + v = 9

Logo:

u + v = 9

u + v = 3

Passo 5

Para o item e , temos que encontrar:

2 w - v , 2 w - v

Temos que:

2 w - v , 2 w - v = 2 w , 2 w - v - v , 2 w - v

2 w - v , 2 w - v = 2 w , 2 w + 2 w , - v + - v , 2 w + - v , - v

2 w - v , 2 w - v = 4 w , w - 2 w , v - 2 v , w + 1 v , v

Portanto:

2 w - v , 2 w - v = 4 ( 49 ) - 2 - 3 - 2 - 3 + 1 4

2 w - v , 2 w - v = 212

Logo:

2 w - v = 2 w - v , 2 w - v 1 2

2 w - v = 212 = 2 53

Passo 6

Para o item f , temos que:

u - 2 v + 4 w

Temos que encontrar:

u - 2 v + 4 w , u - 2 v + 4 w = u , u - 2 v + 4 w - 2 v , u - 2 v + 4 w + 4 w , u - 2 v + 4 w

u - 2 v + 4 w , u - 2 v + 4 w = u , u - u , 2 v + u , 4 w - 2 v , u + 2 v , 2 v - 2 v , 4 w + 4 w , u - 4 w , 2 v + 4 w , 4 w

u - 2 v + 4 w , u - 2 v + 4 w = u , u - 2 u , v + 4 u , w - 2 v , u + 4 v , v - 8 v , w + 4 w , u - 8 w , v + 16 w , w

Portanto:

u - 2 v + 4 w , u - 2 v + 4 w = ( 1 ) - 2 2 + 4 5 - 2 2 + 4 4 - 8 - 3 + 4 5 - 8 - 3 + 16 49

u - 2 v + 4 w , u - 2 v + 4 w = 881

Logo:

u - 2 v + 4 w = u - 2 v + 4 w , u - 2 v + 4 w 1 / 2

u - 2 v + 4 w = ( 881 ) 1 / 2

Resposta

a ) u + v , v + w = 8

b )   2 v - w , 3 u + 2 w = - 113

c )   u - v - 2 w , 4 u + v = - 40

d )   u + v = 3

e )   2 w - v = 2 53  

f )   u - 2 v + 4 w = ( 881 ) 1 / 2

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