Enunciado

Sejam u = u 1 , u 2 e v = v 1 , v 2 . Em cada parte, mostre que a expressão é um produto interno em R 2 verificando a validade dos axiomas de produto interno.

  1. u , v = 3 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2
  2. u , v = 4 u 1 v 1 + u 2 v 1 + u 1 v 2 + 4 u 2 v 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para o item a , temos que:

u , v = 3 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2

Portanto:

v , u = 3 v 1 u 1 + 5 v 2 u 2

Com isso, podemos dizer que o axioma da simetria é satisfeito:

u , v = v , u

Vamos agora encontrar u + v :

u + v = u 1 + v 1 , u 2 + v 2

Temos que:

u + v , z = 3 u 1 + v 1 z 1 + 5 u 2 + v 2 z 2

u + v , z = 3 u 1 z 1 + 3 v 1 z 1 + 5 u 2 z 2 + 5 v 2 z 2

u + v , z = u , z + v , z

O axioma da aditividade é satisfeito.

Passo 2

Vamos encontrar k u , v :

k u , v = 3 k u 1 v 1 + 5 k u 2 v 2

k u , v = k 3 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2

k u , v = k u , v

Portanto, o axioma da homogeneidade é satisfeito.

Temos que:

v , v = 3 v 1 v 1 + 5 v 2 v 2

v , v = 3 v 1 2 + 5 v 2 2

Aqui, temos que v , v não é negativo para todas as opções. O axioma da positividade é satisfeito e com os quatro axiomas satisfeitos, o dado produto é um produto interno em R 2 .

Passo 3

Para o item b , temos que:

u , v = 4 u 1 v 1 + u 2 v 1 + u 1 v 2 + 4 u 2 v 2

Portanto:

v , u = 4 v 1 u 1 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + 4 v 2 u 2

Com isso, podemos dizer que o axioma da simetria é satisfeito:

u , v = v , u

Vamos agora encontrar u + v :

u + v = u 1 + v 1 , u 2 + v 2

Temos que:

u + v , z = 4 u 1 + v 1 z 1 + u 2 + v 2 z 1 + u 1 + v 1 z 2 + 4 u 2 + v 2 z 2

u + v , z = 4 u 1 z 1 + 4 v 1 z 1 + u 2 z 1 + v 2 z 1 + u 1 z 2 + v 1 z 2 + 4 u 2 z 2 + 4 v 2 z 2

u + v , z = u , z + v , z

O axioma da aditividade é satisfeito.

Passo 4

Vamos encontrar k u , v :

k u , v = 4 k u 1 v 1 + k u 2 v 1 + k u 1 v 2 + 4 k u 2 v 2

k u , v = k 4 u 1 v 1 + u 2 v 1 + u 1 v 2 + 4 u 2 v 2

k u , v = k u , v

Portanto, o axioma da homogeneidade é satisfeito.

Temos que:

v , v = 4 v 1 v 1 + v 2 v 1 + v 1 v 2 + 4 v 2 v 2

v , v = 3 v 1 2 + v 1 2 + 2 v 1 v 2 + v 2 2 + 3 v 2 2

v , v = 3 v 1 2 + v 1 + v 2 2 + 3 v 2 2

Aqui, temos que v , v não é negativo para todas as opções. O axioma da positividade é satisfeito e com os quatro axiomas satisfeitos, o dado produto é um produto interno em R 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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