Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 24a
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em e outra em e descreva-o geometricamente.
(a) e
Passo 1
(a) Bom pessoal, o que a gente pode dizer sobre um ponto que está no plano ?
Com certeza ele satisfaz essa relação aqui
Vamos usar essa equação para parametrizar o plano:
Ou seja, esses pontos obedecem essa forma geral aqui:
Separando as constantes e as variáveis:
E agora vamos fazer a mesma coisa para o plano :
Então os pontos do plano são:
Ok, vamos em frente.
Passo 2
Se um segmento começa em um ponto e vai até um ponto . Qual é a sua forma geral?
As constantes e estão multiplicando o mesmo vetor:
Então podemos tratar como se fossem uma única constante. Podemos chamar de , por exemplo:
E podemos também somar os dois pontos:
Então esses são os segmentos que começam em e terminam em . O que essa fórmula diz pra gente?
Passo 3
Bom, a fórmula diz que qualquer segmento que começa em e termina em tem essa forma geral:
Ou seja, é formada por uma combinação linear desses três vetores:
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, ou se podemos escrever um deles em função dos outros dois (nesse caso seriam linearmente dependentes).
Lembra como verificar isso?
Os vetores são LI se a única solução dessa equação aí de cima for :
Somando tudo:
E isso dá um sistema de três equações:
Vamos substituir a segunda equação na terceira, e então ficamos só com duas:
E agora subtraindo a segunda da primeira:
E substituindo isso na primeira equação:
Beleza, então a única solução realmente é , e os nossos vetores são linearmente independentes!
Passo 4
Ok, mas ainda não acabou. O que isso diz sobre os nossos segmentos :
Bom, se eles são formados por qualquer combinação linear de três vetores linearmente independentes, a gente sabe que eles “geram” o espaço inteiro.
Ou seja, qualquer segmento do espaço pode ser escrito na forma .
Mas o que o enunciado pediu foram os pontos médios desses segmentos. Só que não faz diferença:
O conjunto continua linearmente independente, e o lugar geométrico gerado pelos pontos é o espaço inteiro.
Resposta
O lugar geométrico gerado pelos pontos é .