Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 27c
Seja e . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a com uma extremidade em e outra em . Descreva o lugar geométrico
(c)
Passo 1
Vamos começar relembrando o que a gente tinha visto no exercício anterior. Nós começamos descobrindo a posição relativa entre a reta e o plano.
A equação vetorial da reta é:
E para podermos comparar melhor, vamos escrever a equação vetorial do plano também:
Então um ponto qualquer no plano é:
Logo de cara você já deve ter percebido uma coisa: o vetor diretor da reta é igual a um dos vetores diretores do plano! Então a reta é paralela ao plano.
E então verificamos se ela também estava contida no plano:
Igualamos as equações vetoriais da reta e do plano:
E vimos que para qualquer ponto na reta, definido por , existe um par que dá aquele mesmo ponto a partir da equação do plano:
Então a reta está condida no plano, e a situação é mais ou menos essa aqui:
Passo 2
Agora temos que descobrir como esse plano se relaciona com o segmento que foi dado no enunciado:
Bom, vamos descobrir o vetor normal ao plano. Para isso temos que pegar os coeficientes da equação geral do plano:
Então:
Esse vetor não é paralelo a , porque não existe nenhuma solução para essa equação:
Isso quer dizer que não é perpendicular ao plano. Se fosse, teria que ser paralelo a .
Passo 3
Agora vamos verificar se é paralelo ao plano. Para isso teria que ser linearmente dependente com os vetores diretores do plano:
Isso equivale a esse sistema aqui:
Substituindo as duas primeiras equações na terceira:
E então a única solução é , e então o conjunto de vetores é linearmente independente.
Bom, se não é paralelo ao plano e nem perpendicular a ele, então ele só pode ser transversal ao plano. Algo parecido com isso:
Passo 4
Bom, qualquer vetor que começa em e termina em vai estar contido no plano, certo? Afinal, o próprio está no plano.
Isso quer dizer que todos os segmentos que o enunciado menciona são paralelos ao plano. E por isso nunca podem ser paralelos ao , que é transversal ao plano.
Mas tem uma exceção a isso: Os segmentos que começam e terminam no mesmo ponto sobre a reta r, que está toda contida no plano .
Sim, são segmentos com comprimento zero! Mas tecnicamente são paralelos ao segmento , e a qualquer outro segmento também!
Juntos, todos esses segmentos vão nos dar a reta inteira:
Então esse é o lugar geométrico que atende à condição do enunciado,
Resposta
O lugar geométrico é a própria reta : .