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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 32.Problemas - Ex. 1

Sejam A = (1, 2, 3), B = (3, −1, 2), C = (4, 3, −1) e D = (5, −15, 6). Mostre que os vetores u   =   A B → ,   v   =   A C →   e   w   =   A D → são linearmente dependentes e ache a equação de um plano que contenha os pontos A, B, C e D.

Passo 1

Primeiro passo minha gente, montar os vetores.

u = A B → = 2 , - 3 , - 1

v = A C → = 3,1 , - 4

w = A D → = 4 , - 17,3

Se eles são linearmente dependentes então:

2 , - 3 , - 1 = 3 α , 1 α , - 4 α + 4 β , - 17 β , 3 β

2 = 3 α + 4 β - 3 = α - 17 β - 1 = - 4 α + 3 β

α = 2 5       e     β = 1 5

u = 2 5 v + 1 5 w

Portanto u,v e w são LD.

Passo 2

Vamos montar os sistemas para encontrar a equação do plano utilizando o produto misto toamndo um ponto P (x,y,z) no plano

A P → ⋅ v × w = x - 1 y - 2 z - 3 3 1 - 4 4 - 17 3 = 0

Resolvendo esse sistema obtém-se que a equação do plano que contem os 4 pontos é:

  13 x + 5 y + 11 z = 58

Resposta

Demonstração

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Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 , f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (a)Mostre que F = ( f 1 → , f 2 , → f 3 → ) também é uma base.
Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 , f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (c)Determine na base F as coordenadas de v → = 1,2 , - 1 E .
Seja B = u → 1 , u → 2 , u → 3 uma base de V . (c)Se b → = - 1 , 1 , 2 C , quais são as coordenadas de b → na base B ?
Dadas as bases: E = ( - 1,1 , 0 B , 1,1 , 2 B , - 1,0 , 1 B ) e F = 0,1 , 1 E , 1,2 , - 1 E , 2 , - 1,0 E , determine na base B as coordenadas de v → = - 1,2 , - 3 E - - 2,1 , 1 F