Sejam A = (1, 2, 3), B = (3, −1, 2), C = (4, 3, −1) e D = (5, −15, 6). Mostre que os vetores u   =   A B → ,   v   =   A C →   e   w   =   A D → são linearmente dependentes e ache a equação de um plano que contenha os pontos A, B, C e D.

Passo 1

Primeiro passo minha gente, montar os vetores.

u = A B → = 2 , - 3 , - 1

v = A C → = 3,1 , - 4

w = A D → = 4 , - 17,3

Se eles são linearmente dependentes então:

2 , - 3 , - 1 = 3 α , 1 α , - 4 α + 4 β , - 17 β , 3 β

2 = 3 α + 4 β - 3 = α - 17 β - 1 = - 4 α + 3 β

α = 2 5       e     β = 1 5

u = 2 5 v + 1 5 w

Portanto u,v e w são LD.

Passo 2

Vamos montar os sistemas para encontrar a equação do plano utilizando o produto misto toamndo um ponto P (x,y,z) no plano

A P → ⋅ v × w = x - 1 y - 2 z - 3 3 1 - 4 4 - 17 3 = 0

Resolvendo esse sistema obtém-se que a equação do plano que contem os 4 pontos é:

  13 x + 5 y + 11 z = 58

Resposta

Demonstração

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