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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 17

Sejam V = R 3 munido do produto interno usual e A = 1 ,   - 1 ,   - 2 , contido em V . Encontrar uma base ortogonal B de V tal que A está contido em B .

Passo 1

Primeiramente, se V é o próprio R 3 , e B é uma base ortogonal de V , B tem que formar o R 3 , ou seja, B tem que ter no mínimo 3 vetores, todos eles ortogonais entre si, já que B é base ortogonal. A gente já conhece um dos vetores, porque ele disse que A está contido em B , e por isso, um dos vetores de B é o ( 1 ,   - 1 ,   - 2 ) .

Passo 2

Beleza, já temos uma direção pra caminhar! Conhecido um vetor, e sabendo que a base é ortogonal, podemos pegar outros dois vetores genéricos e fazer o produto interno deles com o vetor ( 1 ,   - 1 ,   - 2 ) ser igual a 0 , sacou? Bora fazer isso então. Os outros dois vetores da base são da forma ( a ,   b ,   c ) . Calculando o produto interno com o outro vetor:

a ,   b ,   c ⋅ 1 ,   - 1 ,   - 2 = 0

a - b - 2 c = 0

Agora é só a gente chutar números que sirvam aí! Depois disso, a gente verifica se os dois vetores que obtivemos também têm produto escalar igual a 0 . Pega por exemplo pra c = 0 : a gente fica com a = b , e aí um vetor que serve pra gente é o ( 1 ,   1 ,   0 ) . Beleza, agora pega outro: vamos fazer c = 1 : vamos ficar com a = b + 2 . Um exemplo que serve é ( 1 ,   - 1 ,   1 ) . Show? Conseguimos dois vetores ortogonais ao primeiro.

Passo 3

Agora a gente só tem que testar se eles dois são ortogonais entre si. Se forem, encontramos nossa base ortogonal! Vamos testar o produto escalar deles:

1 ,   1 ,   0 ⋅ 1 ,   - 1 ,   1 = 1 - 1 + 0 = 0

Opa, deu 0 , isso quer dizer que os dois também são ortogonais. Então, uma possível base é a formada por esses vetores que achamos. Mas lembra! Tem infinitas soluções, basta que sejam ortogonais entre si! Mas vamos ficar com essa mesmo que já tá bom hahaha

{ 1 ,   - 1 ,   - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   1 }

Resposta

{ 1 ,   - 1 ,   - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   1 }

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