Sejam V = R 3 munido do produto interno usual e A = 1 ,- 1 ,- 2 , contido em V . Encontrar uma base ortogonal B de V tal que A está contido em B .

{ 1 ,- 1 ,- 2 ,1 ,1 ,0 ,1 ,- 1 ,1 }

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 17

Sejam munido do produto interno usual e , contido em . Encontrar uma base ortogonal de tal que está contido em .

Passo 1

Primeiramente, se é o próprio , e é uma base ortogonal de , tem que formar o , ou seja, tem que ter no mínimo vetores, todos eles ortogonais entre si, já que é base ortogonal. A gente já conhece um dos vetores, porque ele disse que está contido em , e por isso, um dos vetores de é o .

Passo 2

Beleza, já temos uma direção pra caminhar! Conhecido um vetor, e sabendo que a base é ortogonal, podemos pegar outros dois vetores genéricos e fazer o produto interno deles com o vetor ser igual a , sacou? Bora fazer isso então. Os outros dois vetores da base são da forma . Calculando o produto interno com o outro vetor:

Agora é só a gente chutar números que sirvam aí! Depois disso, a gente verifica se os dois vetores que obtivemos também têm produto escalar igual a . Pega por exemplo pra : a gente fica com , e aí um vetor que serve pra gente é o . Beleza, agora pega outro: vamos fazer : vamos ficar com . Um exemplo que serve é . Show? Conseguimos dois vetores ortogonais ao primeiro.

Passo 3

Agora a gente só tem que testar se eles dois são ortogonais entre si. Se forem, encontramos nossa base ortogonal! Vamos testar o produto escalar deles:

Opa, deu , isso quer dizer que os dois também são ortogonais. Então, uma possível base é a formada por esses vetores que achamos. Mas lembra! Tem infinitas soluções, basta que sejam ortogonais entre si! Mas vamos ficar com essa mesmo que já tá bom hahaha

Resposta

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