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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 62a

Sejam vec a e vec b nao-nulos.

(a) Prove que p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = ((vec u . vec v)^2)/(|vec u|^2 |vec v|^2) vec v .

Passo 1

Bora lá!

Neste exercício, queremos provar p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = ((vec u . vec v)^2)/(|vec u|^2 |vec v|^2) vec v , sendo vec u e vec v não nulos, certo?

Passo 2

Primeiramente, vamos usar a definição de projeção ortogonal para escrevermos a expressão de cada projeção ortogonal. Em seguida, usaremos a propriedade associativa de produto escalar para simplificar a expressão resultante.

p r o j_vec u vec v = (vec v . vec u)/(|vec u|^2) vec u

p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = [((((vec v . vec u))/(|vec u|^2) vec u) . vec v)/(|vec v|^2)] vec v

p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = [((((vec v . vec u) ( vec u . vec v ))/(|vec u|^2)))/(|vec v|^2)] vec v

p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = [((((vec v . vec u)^2)/(|vec u|^2)))/(|vec v|^2)] vec v

p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = ((vec v . vec u)^2)/(|vec u|^2 |vec v|^2) vec v

Passo 3

Como pode ser visto na demostração acima, fica provado que p r o j_vec v p r o j_vec u vec v = ((vec u . vec v)^2)/(|vec u|^2 |vec v|^2) vec v .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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