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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 60b

Sejam a → e b → nao-nulos.

(b) Enuncie uma condição necessária e suficiente para que a projeção ortogonal de a → sobre b → e a de b → sobre a → tenham normas iguais.

Passo 1

Bora lá!

Vamos usar o mesmo racicício que usamos na letra (a), beleza?

Neste exercício, devemos enunciar uma condição necessária e suficiente para que a projeção ortogonal de a → sobre b → e a projeção ortogonal de b → sobre a → tenham normas iguais sendo a → e b → não nulos.

Passo 2

Primeiramente, vamos usar a definição de projeção ortogonal para escrever as expressões para para as normas da projeção de a → sobre b → e de b → sobre a → . Dessa forma, temos

p r o j a → b → = a → . b → b →       e       | p r o j b → a → | = b → . a → a →

Passo 3

Igualando as relações das normas das projeções ortogonais, temos:

a → . b → b → = b → . a → a →

b → b → . a → = a → b → . a →

b → a → b → c o s θ = a → a → b → c o s θ '

b → c o s θ = a → c o s θ '

Passo 4

Da relação obtida no passo 3, podemos concluir que para que as projeções de a → sobre b → e de b → sobre a → sejam iguais, a → e b → tenham normais iguais, , a → e b → devem ser ortogonais ou de mesmo comprimento . No primeiro caso, c o s θ = c o s θ ' = c o s 90 ° , o que resultaria em p r o j a → b → = p r o j b → a → = 0 . No segundo caso, b → b → . a → = a → b → . a → ↔ b → = a → , ou seja, se os dois vetores tiverem a mesma norma, p r o j a → b → = p r o j b → a → .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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