Sejam u → ≠ 0 → e v → paralelo a u → . Prove que se w → é ortogonal a u → e x → = v → + w → , então p r o j u →   x → = v → .

Passo 1

Para provar o que o exercício pede, basta usar a fórmula da projeção:

p r o j u →   x → = x → ⋅ u → u → 2   u →

Assim, como x → = v → + w → :

p r o j u →   x → = v → + w → ⋅ u → u → 2   u →

Como w → é ortogonal a u → , temos que w → ⋅ u → = 0 , de modo que

p r o j u →   x → = v → ⋅ u → u → 2   u →

Passo 2

Como v → é paralelo a u → , temos que

u → = λ   v →

Assim,

p r o j u →   x → = v → ⋅ u → u → 2   u → = v → ⋅ λ   v → λ 2   v → 2   λ   v → = λ 2   v → 2 λ 2   v → 2   v → = v →

Era isso que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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