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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 58

Prove que:

a) p r o j u →   v → = v → se, e somente se, u → ,   v → é LD;

b) p r o j u →   v → = u → se, e somente se, ( v → - u → ) ⊥ u → ;

c) se A , B e C são pontos distintos e   A C → = p r o j A C →   A B → , então o triângulo A B C é retângulo.

Passo 1

Para provar o item (a), temos que escrever a expressão da projeção

p r o j u →   v → = v → ⋅ u → u → 2   u →

Assim, temos que

p r o j u →   v → = v → ⟺ v → ⋅ u → u → 2   u → = v →

Para que isso ocorra, u → e v → deve ser paralelos ou   v → = 0 → . Nos dois casos, u → , v → é LD. Da mesma forma, se eles são LD, temos que

u → = λ   v →

Assim,

p r o j u →   v → = v → ⋅ λ v → λ v → 2 λ v → = λ 2   v → 2 λ 2   v → 2   v → = v →

Passo 2

Já no item (b), queremos mostrar que p r o j u →   v → = u → se, e somente se, ( v → - u → ) ⊥ u → . Para isso, escrevemos

p r o j u →   v → = u → ⟺ v → ⋅ u → u → 2   u → = u → ⇔ v → ⋅ u → u → 2 - 1   u → = 0

Isso só ocorre se u → = 0 → ou se

v → ⋅ u → u → 2 = 1 ⟺ v → ⋅ u → = u → 2 = u → ⋅ u → ⟺ v → - u → ⋅ u → = 0

Caso u → = 0 → , ( v → - u → ) ⊥ u → , pois o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor. No outro caso, como v → - u → ⋅ u → = 0 , temos que ( v → - u → ) ⊥ u → .

Passo 3

Por fim, no item (c), temos que provar que se A , B e C são pontos distintos e   A C → = p r o j A C →   A B → , então o triângulo A B C é retângulo. Para isso, vamos chamar u → = A C → e v → = A B → . Note então que

A C → = p r o j A C →   A B → ⟺ p r o j u →   v → = u →

Assim, pelo item (b), temos que

A B → - A C → ⊥ A C →

Mas note que se   A B → e   A C → representam dois lados de um triângulo, então A B → - A C → representa o outro lado que é ortogonal a   A C → , de modo que um dos ângulos do triângulo é de 90 ° : ele é retângulo!

Resposta

Demonstração.

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