Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 58
Prove que:
a) se, e somente se, é LD;
b) se, e somente se, ;
c) se , e são pontos distintos e , então o triângulo é retângulo.
Passo 1
Para provar o item (a), temos que escrever a expressão da projeção
Assim, temos que
Para que isso ocorra, e deve ser paralelos ou . Nos dois casos, é LD. Da mesma forma, se eles são LD, temos que
Assim,
Passo 2
Já no item (b), queremos mostrar que se, e somente se, . Para isso, escrevemos
Isso só ocorre se ou se
Caso , , pois o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor. No outro caso, como , temos que .
Passo 3
Por fim, no item (c), temos que provar que se , e são pontos distintos e , então o triângulo é retângulo. Para isso, vamos chamar e . Note então que
Assim, pelo item (b), temos que
Mas note que se e representam dois lados de um triângulo, então representa o outro lado que é ortogonal a , de modo que um dos ângulos do triângulo é de : ele é retângulo!
Resposta
Demonstração.