Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 51
Prove que:
a) ;
b) vale a igualdade em (a) se, e somente se, é LD;
c) ;
d) |
e) uma condição necessária e suficiente para que valha a igualdade em cada um dos itens (c) e (d) é: e são de mesmo sentido ou ou .
Passo 1
Provar o item (a) é bem simples, basta usar a expressão do produto escalar:
Assim, como , temos que
Essa é a chamada Desigualdade de Schwarz!
Passo 2
Já no item (b), temos que provar que
se, e somente se, é LD. Para isso, basta considerar que ela só é válida se
Assim,
Nos dois casos, é LD.
Passo 3
No item (c) queremos provar a desigualdade triangular. Para isso, começamos por
Mas sabemos que , pois para qualquer número real , vale que . Assim, temos que
Agora usamos a desigualdade de Schwarz, , de modo que
Portanto,
Assim,
Passo 4
No item (d), queremos mostrar que |, que é equivalente a
Vamos escrever e aplicar a propriedade triangular:
Assim, passando para o outro lado:
Esse é o lado direito da relação que queremos mostrar, falta o lado esquerdo. Para isso, escrevemos e aplicamos novamente a desigualdade triangular:
Mas como , temos que
Desta forma, provamos que
e assim, que
|
Passo 5
Por fim, vamos ao item (e). Claramente, caso ou , a relações dos itens anteriores viram igualdades. Além disso, caso eles tenham mesmo sentido, o ângulo entre eles é , de modo que a desigualdade de Schwarz e a triangular viram igualdades. Como toda a demonstração do item (d) leva em conta essas desigualdades, seus resultados também se tornam igualdades!
Resposta
Demonstração.