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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 64

Seja B = i → ,   j → ,   k → a base ortonormal obtida da base E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 pelo Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt. A matriz de mudança de E para B tem um aspecto muit especial. Descreva-o.

Passo 1

Bom, para descrever a matriz de mudança de base de E para B , temos que escrever os vetores de B em termos dos vetores de E . Por simplicidade, vamos supor primeiro que B é apenas ortogonal, não necessariamente ortonormal.

Aplicando o processo de Grand-Schmidt, temos que

i → = e → 1

Já para j → :

j → = e → 2 - p r o j i →   e → 2 = e → 2 - e → 2 ⋅ i → i → 2   i → = e → 2 + α   e → 1 ,

onde

α = - e → 2 ⋅ i → i → 2

Agora vamos ver como k → se escreve:

k → = e → 3 - p r o j i →   e → 3 - p r o j j →   e → 3 = e → 3 - e → 3 ⋅ i → i → 2   i → - e → 3 ⋅ j → j → 2   j →

Mas como i → e j → são combinações lineares de e → 1 e e → 2 , para alguns coeficientes β e γ , temos que

k → = e → 3 + β   e → 2 + γ   e → 1

Passo 2

Obtemos, portanto, que

i → = 1 ,   0 ,   0 E

j → = α ,   1 ,   0 E

k → = γ ,   β ,   1 E

Esses vetores não estão normalizados, mas isso não é importante, pois só queremos saber a estrutura da matriz:

M E B = 1 α γ 0 1 β 0 0 1

Trata-se de uma matriz triangular superior, com todos os termos abaixo da diagonal nulos!

Resposta

Matriz triangular superior.

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