Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 25
Sejam e o conjunto dos vetores ortogonais a . Prove que:
(a) não pertence a ;
(b) qualquer combinação linear de vetores de T pertence a T;
(c) se e são dois vetores LI de T, então () é LI;
(d) três vetores quaisquer de T são LD;
(e) se e são vetores LI de T, então e geram T, isto é, todo vetor de T é combinação linear de , (compare com o Exercício 6-18).
Passo 1
Vamos começar entendendo quem são os elementos do conjunto T.
Dois vetores não-nulos e são ortogonais entre si, quando o produto vetorial . Assim, temos que . Olhando o conjunto dessa forma, ficou fácil respondermos o item (a).
Item (a): Observe que para provarmos que não pertence a , temos que mostrar que . Como o enunciado nos diz que então, pela proposição 9-7 (pág. 75), temos que . Logo, não pertence a .
Passo 2
Item (b): Dizer que o vetor é uma combinação linear de vetores de T significa que , com elementos do conjunto T.
Para provarmos que pertence a T precisamos mostrar que .
Mas,
Utilizando a proposição 9-7 no termo a direita da igualdade acima, obtemos
Novamente pela proposição 9-7, temos que para todo vale que
pois cada pertence ao conjunto T.
Juntando as igualdades e , temos que , como queríamos.
Passo 3
Item (c): Assumindo que e são dois vetores LI de T, queremos mostrar que () é LI. Faremos isso supondo, por absurdo, que () não é LI.
Suponha que () não é LI.
Temos então que () é LD é uma combinação linear dos vetores ). Logo, pelo item (b), pertence ao conjunto T.
Observe que , visto que e são ambos diferentes de zero, pois são LI, e () é LD. Dessa forma, temos e T, o que é um absurdo pelo que já provamos no item (a).
Logo, () é LI.
Passo 4
Item (d): Sejam e três vetores quaisquer de T, queremos provas que () é LI. Faremos isso de forma parecida como fizemos no item anterior.
Suponha, por absurdo, que () é LD. Então, fazendo a combinação linear desses três vetores, temos que com e T (pelo item (b)).
Novamente, isso contradiz o resultado do item (a).
Dessa forma, dados três vetores quaisquer e em T, temos que () é LD.
Passo 5
Item (e): Para mostrarmos que e geram T, precisamos mostrar que dado um vetor qualquer de T, podemos escrevê-lo como uma combinação linear dos vetores e , isto é, .
Sejam e são vetores LI de T e um vetor qualquer de T. Temos que , e são três vetores quaisquer de T. Pelo item anterior, temos que (, , é LD , pois assumimos e LI.
Assim, como é uma combinação linear dos vetores e , temos que e geram T.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)