Sejam e pontos não-colineares. Exprima a distância de um ponto ao plano em função de .
Passo 1
Temos algo mais ou menos assim, olha:
Vamos agora imaginar um paralelepípedo com base no plano e altura , ou seja, a distância de até o plano é a altura desse paralelepípedo.
Passo 2
Sabemos que o volume de um paralelepípedo é:
Onde e são as arestas da base e é a altura .
Como queremos encontrar , a distância de até o plano, temos:
Então, a altura do paralelepípedo é o volume dele dividido pela área da base.
Passo 3
A área da base do nosso paralelepípedo, ou seja, a área do nosso paralelogramo, é dada pelo produto vetorial:
E o volume do paralelepípedo é dado pelo produto misto
Então, a distância de até o plano, ou seja, a altura do paralelepípedo, será escrita como: