Sejam A ,   B e C pontos não-colineares. Exprima a distância de um ponto D ao plano A B C em função de A B → ,   A C → ,   A D → .

Passo 1

Temos algo mais ou menos assim, olha:

Vamos agora imaginar um paralelepípedo com base no plano e altura A D , ou seja, a distância de D até o plano é a altura desse paralelepípedo.

Passo 2

Sabemos que o volume de um paralelepípedo é:

V = b 1 . b 2 . h

Onde b 1 e b 2 são as arestas da base e h é a altura A D .

Como queremos encontrar h , a distância de D até o plano, temos:

h = V b 1 . b 2

Então, a altura do paralelepípedo é o volume dele dividido pela área da base.

Passo 3

A área da base do nosso paralelepípedo, ou seja, a área do nosso paralelogramo, é dada pelo produto vetorial:

| A B → ∧ A C → |

E o volume do paralelepípedo é dado pelo produto misto

| A B → ,   A C → ,   A D → |

Então, a distância de D até o plano, ou seja, a altura do paralelepípedo, será escrita como:

d = A B → ,   A C → ,   A D → | A B → ∧ A C → |

Resposta

d = A B → ,   A C → ,   A D → | A B → ∧ A C → |

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