Se v₁, v₂, v₃ são vetores não coplanares, sejam

k1 = (v1 × v3) / (v1 • (v2 × v3))

k_2 = (v_3 * v_1) / (v_1 ∙ (v_2 × v_3))

k₃ = (v₁ × v₂) / (v₁ ∙ (v₂ × v₃))

(Esses vetores aoarecem no estudo de cristalografia. Vetoes da forma n1 * v1 + n2 * v2 + n3 * v3 onde cada n_i é um inteiro, formam um reticulado para o cristal. Vetores escritos de modo semelhante em termos de k1, k2, k3 foram o reticulado recíproco).

  1. Mostre que k_i é perpendicular a v_j se i ≠ j .
  2. Mostre que k_i ∙ v_i = 1 para i = 1, 2, 3.
  3. Mostre que k₁ ∙ (k₂ × k₃) = 1 / (v₁ ∙ (v₂ × v₃))

Passo 1

a )

A definição de k i diz que é o produto vetorial entre v j ' s e sabemos que o produto vetorial entre dois vetores resulta num vetor perpendicular simultaneamente a esses dois vetores.

Assim, k i é perpendicular a v j se i ≠ j .

Passo 2

b )

Para i = 1 :

k 1 ∙ v 1 = v 1 × v 3 v 1 ∙ v 2 × v 3 ∙ v 1 = 1

Para i = 2 :

k 2 ∙ v 2 = v 3 × v 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 ∙ v 2

Pela propriedade 5 do produto vetorial:

k 2 ∙ v 2 = v 2 ∙ v 3 × v 1 v 2 ∙ v 3 × v 1 = 1

Para i = 3 :

k 3 ∙ v 3 = v 1 × v 2 v 1 ∙ v 2 × v 3 ∙ v 3

Pela propriedade 5 do produto vetorial:

k 3 ∙ v 3 = v 3 ∙ ( v 1 × v 2 ) v 3 ∙ v 1 × v 2 = 1

Passo 3

c )

k 1 ∙ k 2 × k 3 = k 1 ∙ v 3 × v 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 × v 1 × v 2 v 1 ∙ v 2 × v 3

k 1 ∙ k 2 × k 3 = k 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 2 ∙ v 3 × v 1 × v 1 × v 2

E, como é de costume desse livro querer que a gente adivinhe que tem que usar coisa de outra questão, aqui vamos ter que usar o resultado da questão 46, que diz que

a × b × c = a ∙ c b - a ∙ b c

Assim, na nomenclatura dessa questão, temos:

v 3 × v 1 × v 1 × v 2 = v 3 × v 1 ∙ v 2 v 1 - v 3 × v 1 ∙ v 1 v 2

Passo 4

Acontece que v 3 × v 1 ∙ v 1 = 0

POR QUE??????

Calma, vou explicar.

O produto vetorial diz que o vetor resultante é perpendicular simultaneamente aos dois vetores, certo?

Assim, o vetor v 3 × v 1 é perpendicular a v 3 e a v 1 , logo, o produto escalar dele com v 1 tem que ser nulo!

Sacou?

Dito isso, ficamos com:

v 3 × v 1 × v 1 × v 2 = v 3 × v 1 ∙ v 2 v 1 - v 3 × v 1 ∙ v 1 v 2 = v 3 × v 1 ∙ v 2 v 1

Passo 5

Agora vamos “atacar” isso que sobrou:

v 3 × v 1 × v 1 × v 2 = v 3 × v 1 ∙ v 2 v 1

Das propriedades do produto escalar, podemos dizer que

v 3 × v 1 ∙ v 2 = v 2 ∙ v 3 × v 1

Agora da propriedade do produto vetorial, podemos dizer que

v 2 ∙ v 3 × v 1 = v 2 × v 3 ∙ v 1

E de novo da propriedade do produto escalar:

v 2 × v 3 ∙ v 1 = v 1 ∙ v 2 × v 3

Assim, temos:

v 3 × v 1 × v 1 × v 2 = v 3 × v 1 ∙ v 2 v 1 = v 1 ∙ v 2 × v 3 v 1

Passo 6

Agora voltando lá na nossa expressão do passo 3:

k 1 ∙ k 2 × k 3 = k 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 2 ∙ v 3 × v 1 × v 1 × v 2

Substituindo o que achamos até aqui:

k 1 ∙ k 2 × k 3 = k 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 2 ∙ v 1 ∙ v 2 × v 3 v 1

Simplificando:

k 1 ∙ k 2 × k 3 = k 1 ∙ v 1 v 1 ∙ v 2 × v 3

Maaas, lá da letra b a gente descobriu que

k 1 ∙ v 1 = 1

Assim,

k 1 ∙ k 2 × k 3 = 1 v 1 ∙ v 2 × v 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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