Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.4 - Ex. 54
Se são vetores não coplanares, sejam
(Esses vetores aoarecem no estudo de cristalografia. Vetoes da forma onde cada é um inteiro, formam um reticulado para o cristal. Vetores escritos de modo semelhante em termos de foram o reticulado recíproco).
- Mostre que é perpendicular a se .
- Mostre que para
- Mostre que
Passo 1
A definição de diz que é o produto vetorial entre e sabemos que o produto vetorial entre dois vetores resulta num vetor perpendicular simultaneamente a esses dois vetores.
Assim, é perpendicular a se .
Passo 2
Para :
Para :
Pela propriedade 5 do produto vetorial:
Para :
Pela propriedade 5 do produto vetorial:
Passo 3
E, como é de costume desse livro querer que a gente adivinhe que tem que usar coisa de outra questão, aqui vamos ter que usar o resultado da questão 46, que diz que
Assim, na nomenclatura dessa questão, temos:
Passo 4
Acontece que
POR QUE??????
Calma, vou explicar.
O produto vetorial diz que o vetor resultante é perpendicular simultaneamente aos dois vetores, certo?
Assim, o vetor é perpendicular a e a , logo, o produto escalar dele com tem que ser nulo!
Sacou?
Dito isso, ficamos com:
Passo 5
Agora vamos “atacar” isso que sobrou:
Das propriedades do produto escalar, podemos dizer que
Agora da propriedade do produto vetorial, podemos dizer que
E de novo da propriedade do produto escalar:
Assim, temos:
Passo 6
Agora voltando lá na nossa expressão do passo 3:
Substituindo o que achamos até aqui:
Simplificando:
Maaas, lá da letra a gente descobriu que
Assim,
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)