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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.4 - Ex. 38

Use o produto misto para determinar se os pontos pertencem ao mesmo plano:

A ( 1,3 , 2 )

B ( 3 , - 1,6 )

C ( 5,2 , 0 )

D ( 3,6 , - 4 )

Passo 1

Para poder usar o produto misto, primeiro a gente precisa definir vetores que passar por esses pontos.

Podemos fazer:

a = A B = 3 , - 1,6 - 1,3 , 2 = ( 2 , - 4,4 )

b = A C = 5,2 , 0 - 1,3 , 2 = ( 4 , - 1 , - 2 )

c = A D = 3,6 , - 4 - 1,3 , 2 = ( 2,3 , - 6 )

Passo 2

Agora que já temos vetores, podemos dizer que se o produto misto entre os três vetores for nulo, significa que eles são vetores coplanares e, portanto, os pontos que formam esses vetores estão no mesmo plano. Vamos ver então:

a ∙ b × c   = 2 - 4 4 4 - 1 - 2 2 3 - 6 = 2 - 1 - 2 3 - 6 - - 4 4 - 2 2 - 6 + 4 4 - 1 2 3

a ∙ b × c   = 2 - 4 4 4 - 1 - 2 2 3 - 6 = 2 1.6 + 2.3 + 4 - 4.6 + 2.2 + 4 4.3 + 1.2

a ∙ b × c   = 2 - 4 4 4 - 1 - 2 2 3 - 6 = 24 - 80 + 56 = 0

Ou seja, deu zero mesmo, logo, o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores seria nulo, o que significa que esses três vetores só podem estar no mesmo plano!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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A pirâmide mostrada na Figura 12-6 (b) tem por base um quadrado de lado 2. As arestas que contêm o vértice V formam ângulos de 45 ° com o plano do quadrado, e a base V A → ,V D → ,V B → é postiva.(b)