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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 31.Problemas - Ex. 1

Para cada um dos sistemas a seguir, decida se existem ou não soluções. No caso afirmativo, exiba todas as soluções do sistema em termos de um ou dois parâmetros independentes.

  x   +   2 y   +   3 z = 4                 2 x   -   y   +   5 z   = 3               6 x   -   4 y   +   12 z   =   2  

2 x   +   3 y   +   4 z = 5             4 x   -   2 y   +   10 z   = 5             9 x   -   6 y   +   18 z   =   3

Passo 1

Para o primeiro sistema vamos ter:

6 x - 4 y + 12 z = 2 9 x - 6 y + 18 z = 3 → 6 - 4 12 2 9 - 6 18 3 → L 2 - 3 2 L 1 → 6 - 4 12 2 0 0 0 0

⇒ x = 1 3 + 2 3 y - 2 z

As soluções são, parametrizando, x = 1 3 + 2 3 s - 2 t ,   y = s , z = t , para todo t e s pertencente aos reais.

Passo 2

No segundo sistema os planos definidos pelas equações são paralelos, isto é, os vetores definidos pela matriz normal, a linha 1 e a 2 são colineares, enquanto a linha 1 e 2 da matriz aumentada não são colineares, portanto, o sistema não apresenta soluções.

Passo 3

Para o ultimo sistema vamos ter:

x + 2 y + 3 z = 4 2 x + 3 y + 4 z = 5 → 1 2 3 4 2 3 4 5 → L 2 - 2 L 1 → 1 2 3 4 0 - 1 - 2 - 3

As soluções são, parametrizando, x = - 2 + t ,   y = 3 - 2 t , z = t , para todo t pertencente aos reais.

Resposta

  1. x = - 2 + t ,   y = 3 - 2 t , z = t
  2. Não existe soluções
  3. x = 1 3 + 2 3 s - 2 t ,   y = s , z = t

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