Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 5.Exercício - Ex. 4
Sejam , e pontos quaisquer, . Prove que:
- pertence à reta se, e somente se, existem e tais que e ;
- pertence ao segmento se, e somente se, existem e tais que , , e ;
- é interior ao segmento (isto é, existe tal que e ) se, e somente se, e são de sentido contrário.
Passo 1
Bom, vamos começar provando a letra a).
Se o ponto pertencer a reta , automaticamente, temos que os vetores e são paralelos. Mostramos isto matematicamente através da seguinte relação:
Ambos os vetores são proporcionais. A dica agora é tentar escrever o vetor utilizando, ou pelo menos tentando utilizar os vetores e , pois o que a questão pede para obtermos é a relação . Portanto, vejamos uma possibilidade a seguir:
Assumindo que , temos:
Mas quem é o vetor ? É possível escrever como uma soma dos vetores e ?
A resposta para esta pergunta é sim! Vejamos só:
Substituindo na relação, temos:
Se chamarmos e , temos:
E também . Então, o ponto pertence a reta se existir tal que , ou e
Assim, provamos a primeira relação.
Passo 2
Agora, vamos verificar as condições entre e para que o ponto pertence ao segmento . Novamente, reparem a expressão do vetor :
Para que pertence ao segmento , o vetor deve ter mesmo sentido de e norma menor do que . Portanto, temos a seguinte relação:
Substituindo e , teremos:
Portanto, acabamos de provar que será interior se, e somente se, e
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal entre e . Continuaremos utilizando as relações que desenvolvemos durante toda a questão.
Precisamos fazer aparecer algo que relacione estes dois vetores. Uma possível forma é:
Mas sabemos que . Substituindo, temos:
Chegamos a uma relação entre os vetores e . Também sabemos que .
Por causa dos valores de , percebam que possui sinal negativo.
Desta forma, verificamos que os vetores e possuem sentido contrário!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)