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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.1 - Ex. 18c

Sejam A , B e C pontos quaisquer com A ≠ B . Prove que:

(c) Um ponto X é um ponto interior ao triângulo A B C ( A ' X → = λ A ' B ' → ,   c o m   0 < λ < 1 ,   e m   q u e   A ' é   u m   p o n t o   i n t e r i o r   a o   s e g m e n t o   A C   e   B ' é   u m   p o n t o   i n t e r i o r   a o   s e g m e n t o   C B )   se, e somente se, C X → = α C A → + β C B → , com α > 0 , β > 0   e   α + β < 1

Passo 1

Fala aeeeee, tudo na paz? ;D

Por hipótese, temos que:

A X → = λ A B →

Isso, implica em:

C X → = C A → + λ   A B →

Passo 2

Mas,

A B → =   C B → - C A →

Portanto:

C X → = C A → + λ ( C B → - C A → )

Logo:

C X → = 1 - λ C A → + λ C B →

Passo 3

Se λ = 0 :

C X → = C A →

Se λ = 1 :

C X → = C B →

Para   α + β < 1 :

C B ' → será um segmento menor que C B →

ou

C A ' → será um segmento menor que C A →

Logo, esses segmentos menores irão formar um novo triângulo A C B ' ou B C A ' , interior ao triângulo A B C .

Consequentemente, X será um ponto interior ao triângulo A B C .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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