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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.1 - Ex. 18c

Sejam A ,   B e C pontos quaisquer com A ≠ B . Prove que:

c) Um ponto X é um ponto interior ao triângulo A B C ( A ' X → = λ A ' B ' → ,   c o m   0 < λ < 1 , em que A ' é um ponto interior ao segmento A C e B ' é interior ao segmento C B ) se, e somente se,

C X → = α C A → + β C B → ,

Com α > 0 , β > 0 e α + β < 1 .

Passo 1

Na alternativa anterior nós mostramos que 1 < α < 2 e 0 < β < 1 caso quiséssemos analisar um ponto sobre o segmento entre os pontos A e B . Esta situação é representada pelo seguinte:

Esta situação foi estabelecida levando em conta que α + β = 1 . Vamos tentar divagar um pouco em cima disso!

Passo 2

Como temos que α + β = 1 , temos que α = 1 - β , portanto:

C X → = 1 - β C A → + β C B → = β C B → - C A → + C A →

Ou seja

C X → - C A → = β ( C B → - C A → )

Só que lembrando que A B → = B - A , temos que C X → - C A → = X - C - A - C = X - A = A X → e também que C B → - C A → = B - C - A - C = B - A = A B → . Ou seja:

A X → = β A B →

Os vetores A X → e A B → são colineares. O que acontece, no entanto, se α ' + β ' < 1 → α ' < 1 - β ' ?

Passo 3

A seguinte expressão

C X ' → = 1 - β ' C A → + β ' C B →

O vetor V ' = 1 - β ' C A → < V = 1 - β C A → . Também, o vetor X ' = 1 - α '   C B → < X = 1 - α   C B → , ou seja, temos a seguinte situação:

A questão foi isso! Te vejo na próxima!! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

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