Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 1.Exercícios Propostos - Ex. 26

Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem comprimento igual à metade do comprimento desse lado.

Passo 1

Fala, pessoal! Questãozinha de demonstração mas não precisa se preocupar porque vai ser tranquilo. Vamos começar desenhando um triângulo aleatório, escolhendo os pontos médios de dois dos lados e calcular o vetor que os une.

Na figura acima, podemos notar que

Como M é ponto médio do segmento que liga B e A, então

Além disso, podemos ser espertos e utilizarmos o resultado do Exercício Resolvido 3 para obter

Agora, substituímos esses dois resultados na nossa primeira equação e obtemos

O resultado prova que é paralelo a , enquanto o termo de proporcionalidade indica que o comprimento de é metade daquele de . Esse resultado não depende do triângulo nem dos lados escolhidos, então é sempre verdadeiro.

Resposta

Ver a resolução acima.

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Mostre que uxvxw =u , wv - u , v w . (Sugestão: Os dois membros desta proposta igualdade são funções φ u , v , we ψ ( u , v , w ) , de três variáveis vetoriais, lineares em relação a cada uma delas, t

No espaço quadrimensional R 4 , defina o produto interno u , v , dos vetores u = ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) e v = ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) . Defina vetores ortogonais. Imitando o caso de R 3 , defina

Fixando uma reta r , indiquemos com v ' a projeção ortogonal de um vetor arbitrário v sobre r . Prove as seguintes propriedades:a) v + w ' = v ' + w '

Dados os vetores arbitrários uev , mostre que u . vev . u são vetores do mesmo comprimento.

Dado o paralelogramo A B C D , ponha A B → = ueA C → = v ,logo A D → = u + v e B C → = v - u . Prove que u - v 2 + u + v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 e conclua que em todo paralelogramo a soma dos quadrados das