Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem comprimento igual à metade do comprimento desse lado.

Passo 1

Fala, pessoal! Questãozinha de demonstração mas não precisa se preocupar porque vai ser tranquilo. Vamos começar desenhando um triângulo aleatório, escolhendo os pontos médios de dois dos lados e calcular o vetor que os une.

Na figura acima, podemos notar que

M N → = M C → + C N → = - C M → + C N →

Como M é ponto médio do segmento que liga B e A, então

C M → = 1 2 C A →

Além disso, podemos ser espertos e utilizarmos o resultado do Exercício Resolvido 3 para obter

C N → = 1 2 ( C A → + C B → )

Agora, substituímos esses dois resultados na nossa primeira equação e obtemos

M N → = - C M → + C N → = - 1 2 C A → + 1 2 ( C A → + C B → ) = 1 2 C B →

O resultado M N → = 1 2 C B → prova que M N → é paralelo a C B → , enquanto o termo de proporcionalidade 1 2 indica que o comprimento de M N → é metade daquele de C B → . Esse resultado não depende do triângulo nem dos lados escolhidos, então é sempre verdadeiro.

Resposta

Ver a resolução acima.

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