Sejam u , v o produto interno euclidiano em R 2 gerado por 2 1       1 1 e u = 2,1 , v = - 1,1 , w = 0 , - 1 . Calcule as expressões dadas.

  1. u , v
  2. v , w
  3. u + v , w
  4. v
  5. d v , w
  6. v - w 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

u , v = v T A T A u

Sabendo que:

A T A = 2 1       1 1 2 1       1 1 = 5 3       3 2

Temos que:

u , v = - 1,1 5 3       3 2 2 1

u , v = - 5

Passo 2

Item b:

v , w = w T A T A v

Portanto:

v , w = 0 , - 1 5 3       3 2 - 1 1

v , w = 1

Passo 3

Item c:

Sabendo que:

u + v , w = u , w + v , w

Temos que:

u + v , w = w T A T A u + w T A T A v

u + v , w = 0 , - 1 5 3       3 2 2 1 + 0 , - 1 5 3       3 2 - 1 1

u + v , w = - 8 + 1

u + v , w = - 7

Passo 4

Item d:

Temos que:

v = v , v

Logo:

v = v T A T A v

v = - 1 , 1 5 3       3 2 - 1 1

v = 1 = 1

Passo 5

Item e:

Para o item e, temos que:

d v , w = v - w

Resolvendo, temos que:

d v , w = v - w , v - w

d v , w = v - w T A T A v - w

Temos que:

v - w = - 1 1 - 0 - 1 = - 1 2

d v , w = - 1 , 2 5 3       3 2 - 1 2

Ou seja:

d v , w = 1

Passo 6

Item f:

Temos que:

v - w 2 = d v , w 2

Como d v , w = 1 , temos que:

v - w 2 = 1 2 = 1

Resposta

a )   u , v = - 5

b )   v , w = 1

c )   u + v , w = - 7

d )   v = 1

e )   d v , w = 1

f )   v - w 2 = 1

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