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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 3

Sejam r uma reta que contém a origem, α o ângulo de O X para r   e   S :   R ²   →   R ² a reflexão em torno de r . Sendo e 1   =   ( 1 ,   0 )   e   e 2   =   ( 0 ,   1 ) mostre que o ângulo de e 1 para   S e 1 é 2 α   e o ângulo de e 2 para S e 2 é 2 α   +   180 ° . Conclua que S e 1   =   ( c o s   2 α ,   s e n   2 α )   e   S e 2   =   ( s e n   2 α ,   -   c o s   2 α ) . A partir daí obtenha a matriz de S em termos de α .

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos alertando que esse exercício pode ser feito de várias formas diferentes, beleza!

Para facilitar nossa vida vamos esboçar essa situação!

Considere o que acontece quando tomamos um ponto ( x   ,   y ) e gire-o em um ângulo de θ

Usando coordenadas polares, podemos escrever (   x   ,   y )   =   (   r c o s   ϕ   ,   r   s e n ϕ )Onde r é a distância de (   x   ,   y ) para a origem e   ϕ é o ângulo formado pela reta desde a origem até (   x   ,   y ) e o positivo x-eixo.

Depois de rodar (   x   ,   y ) por um ângulo de θ , o novo ponto ainda é r unidades de distância da origem, mas agora, o ângulo feito pela linha da origem para ( x ' , y ' ) e o positivo x-eixo aumenta em θ . Por isso , ( x ' , y ' )   =   (   r c o s   (   ϕ   +   θ   )   ,   r   s e n (   ϕ   +   θ   )   ) .

Agora, vamos usar a soma do cosseno e do seno das fórmulas de ângulo para escrever x ' e y '   em termos de x   e y :

x ' =   r   c o s (   ϕ   +   θ   )   =   r   c o s ϕ   c o s θ   -   r   s e n ϕ   s e n θ   =   x   c o s θ   –   y s e n θ

y ' =   r   s e n (   ϕ   +   θ   )   =   r   s e n ϕ   c o s θ   +   r   c o s ϕ   s e n θ   =   y s e n θ   +   x   s e n θ

Passo 2

Continuando!

Colocando isso em forma de matriz nos vamos obter

Portanto, a matriz que gira um ponto em um ângulo de θ anti-horário é:

Prontinho!

Te vejo na próxima questão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja m uma matriz quadrada nxn . Chama-se traço de m a soma T r . m = a 11 + a 22 + … + a n n dos elementos a i i da sua diagonal. Prove que T r . m + n = T r . m + T r . n , T r . α m = α T r . m se
Partindo da matriz m = a 1b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 E supondo ∆ = det ⁡ m ≠ 0 , use três vezes a regra de cramer para mostrar que m - 1 = 1 ∆ M 1 M 2 M 3 N 1 N 2 N 3 P 1 P 2 P 3 , Onde M i = - 1
Seja m = a 1 b 1 a 2 b 2 Tal que ∆ = det ⁡ m ≠ 0 . resolva os sistemas de equação lineares. a 1 x 1 + b 1 x 2 = 1 a 1 y 1 + b 1 y 2 = 0 a 2 x 1 + b 2 x 2 = 0 a 2 y 1 + b 2 y 2 = 1 E obtenha uma fórmul
Sejam m e p matrizes 3x3 , com p invertível. prove que m e p - 1 m p têm o mesmo traço.
Escreva um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas. Resolva-o por eliminação, pela regra de Cramer e pela fórmula x = m - 1 . d . Compare e comprove qual dos três métodos é o mais eficiente.