Sejam r uma reta que contém a origem, α o ângulo de O X para reS :R ²→R ² ² ² a reflexão em torno de r . Sendo e 1=( 1 ,0 )ee 2=( 0 ,1 ) mostre que o ângulo de e 1 paraS e 1 é 2 α e o ângulo de e 2 para S e 2 é 2 α+180 ° . Conclua que S e 1=( c o s2 α ,s e n2 α )eS e 2=( s e n2 α ,-c o s2 α ) . A partir daí obtenha a matriz de S em termos de α .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 3

Sejam uma reta que contém a origem, o ângulo de para a reflexão em torno de . Sendo mostre que o ângulo de para é e o ângulo de para é . Conclua que . A partir daí obtenha a matriz de em termos de

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos alertando que esse exercício pode ser feito de várias formas diferentes, beleza!

Para facilitar nossa vida vamos esboçar essa situação!

Considere o que acontece quando tomamos um ponto e gire-o em um ângulo de

Usando coordenadas polares, podemos escrever )Onde é a distância de para a origem e é o ângulo formado pela reta desde a origem até e o positivo x-eixo.

Depois de rodar por um ângulo de , o novo ponto ainda é unidades de distância da origem, mas agora, o ângulo feito pela linha da origem para e o positivo x-eixo aumenta em . Por isso

Agora, vamos usar a soma do cosseno e do seno das fórmulas de ângulo para escrever e em termos de e :

Passo 2

Continuando!

Colocando isso em forma de matriz nos vamos obter

Portanto, a matriz que gira um ponto em um ângulo de θ anti-horário é:

Prontinho!

Te vejo na próxima questão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja m uma matriz quadrada nxn . Chama-se traço de m a soma T r . m = a 11 + a 22 + … + a n n dos elementos a i i da sua diagonal. Prove que T r . m + n = T r . m + T r . n , T r . α m = α T r . m se

Partindo da matriz m = a 1b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 E supondo ∆ = det ⁡ m ≠ 0 , use três vezes a regra de cramer para mostrar que m - 1 = 1 ∆ M 1 M 2 M 3 N 1 N 2 N 3 P 1 P 2 P 3 , Onde M i = - 1

Seja m = a 1 b 1 a 2 b 2 Tal que ∆ = det ⁡ m ≠ 0 . resolva os sistemas de equação lineares. a 1 x 1 + b 1 x 2 = 1 a 1 y 1 + b 1 y 2 = 0 a 2 x 1 + b 2 x 2 = 0 a 2 y 1 + b 2 y 2 = 1 E obtenha uma fórmul

Sejam m e p matrizes 3x3 , com p invertível. prove que m e p - 1 m p têm o mesmo traço.

Escreva um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas. Resolva-o por eliminação, pela regra de Cramer e pela fórmula x = m - 1 . d . Compare e comprove qual dos três métodos é o mais eficiente.