Sejam r e s as retas reversas passando por

A = (0, 1, 0) e B = (1, 1, 0)

e por

C = (-3, 1, -4) e D = (-1, 2, -7),

respectivamente. Obtenha uma equação da reta concorrente com r e s e paralela ao vetor V = (1, -5, -1).

Passo 1

Dados os pontos A, B, C e D, podemos calcular um vetor relativo à reta r e um vetor relativo à reta s:

A B → = 1 ,   0 ,   0

C D → = 2 ,   1 ,   - 3

Com base nisso, podemos encontrar pontos passando por r e s, utilizando, para tal, as coordenadas de A e C dadas:

P r = ( r ,   1 ,   0 )

P s = ( - 3 + 2 s ,   1 + s ,   - 4 - 3 s )

Passo 2

Como desejamos uma reta paralela ao vetor V, a partir das duas retas anteriores, devemos seguir a seguinte igualdade:

P s P r → =   α V

O vetor P s P r →   é dado por:

P s P r → = ( r + 3 - 2 s ,   1 - 1 - s ,   0 + 4 + 3 s )

P s P r → = ( r + 3 - 2 s ,   - s ,   4 + 3 s )

Assim:

r + 3 - 2 s ,   - s ,   4 + 3 s = ( α ,   - 5 α ,   - α )

Montando um sistema com as coordenadas:

r + 3 - 2 s = α - s = - 5 α 4 + 3 s = - α

Reescrevendo:

r - 2 s - α = - 3 - s + 5 α = 0 3 s + α = - 4

Resolvendo matricialmente por escalonamento:

1 - 2 - 1 0 - 1 5 0 3 1 - 3 0 - 4 → 1 - 2 - 1 0 1 - 5 0 3 1 - 3 0 - 4 → 1 - 2 - 1 0 1 - 5 0 0 16 - 3 0 - 4 → 1 - 2 - 1 0 1 - 5 0 0 1 - 3 0 - 1 4

→ 1 - 2 - 1 0 1 0 0 0 1 - 3 - 5 4 - 1 4 → 1 - 2 0 0 1 0 0 0 1 - 13 4 - 5 4 - 1 4 → 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 23 4 - 5 4 - 1 4

Ou seja:

r =   - 23 4 s = - 5 4 α =   - 1 4

Passo 3

Substituindo um dos pontos obtidos e V como o vetor diretor da reta:

P r = ( - 23 4 ,   1 ,   0 )

V = (1, -5, -1)

(x, y, z) = ( - 23 4 + t ,   1 - 5 t ,   - t )

Resposta

(x, y, z) = ( - 23 4 + t ,   1 - 5 t ,   - t )

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