Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 14
Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x + y – z = 0 e 2x – y + 3z – 1 = 0. Ache a equação do plano que passa por A = (1, 0, -1) e contém a reta r.
Passo 1
Podemos reescrever as equações dos planos de forma que:
x + y – z = 0
2x – y + 3z = 1
Montando um sistema com as duas equações:
Transformando em matriz e escalonando:
Ou seja:
Passo 2
Com base no resultado encontrado, podemos assumir uma reta na interseção dos planos de equação r: (x, y, z) = (.
Essa reta possui vetor diretor V = ( e passa pelo ponto P = (. Nesse sentido, o ponto P está incluso não somente na reta r, como também no plano desejado, por isso, podemos dizer que é um vetor presente no plano desejado.
Passo 3
Dado que V e são vetores contidos no plano, podemos achar o vetor normal ao plano desejado a partir do produto vetorial de V e :
det
Realizando a conta do determinante:
i j k – k +j i
-2i + 0j - k
A equação cartesiana do plano é dada por:
ax + by + cz + d = 0
Substituindo os valores encontrados no vetor normal por a, b e c:
-2x z + d = 0
Para descobrirmos o valor de d, podemos substituir o ponto inicial de r na equação do plano, tal que:
P = (
-2x z + d = 0
-2( (0) + d = 0
d =
Resposta
-2x z = 0
Que é equivalente a:
6x +4z = 0