Enunciado

Obter o ponto de abscissa 1 da reta r : 2 x + 1 3 = 3 y - 2 2 = z + 4 e encontrar um vetor diretor de r que tenha ordenada 2 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

A abscissa é associada à coordenada x , então temos que x = 1 . Podemos então substituir esse valor na equação da reta:

2 ( 1 ) + 1 3 = 3 y - 2 2 = z + 4

Resolvendo a parte mais à esquerda temos:

1 = 3 y - 2 2 = z + 4

Temos então duas equações:

3 y - 2 2 = 1 z + 4 = 1

Daí da primeira equação a gente tira o valor de y e da segunda tira o valor de z . Vamos calcular?

Passo 2

Da primeira temos:

3 y - 2 2 = 1

3 y - 2 = 2

3 y = 4

y = 4 3

E da segunda:

z + 4 = 1

z = 1 - 4

z = - 3

Então, reunindo todos os resultados o ponto fica:

P 1 ,   4 3 , - 3

Passo 3

E um vetor que tenha ordenada 2 , é facilmente determinado se olharmos com mais carinho pra equação reduzida da reta:

2 x + 1 3 = 3 y - 2 2 = z + 4  

Essa equação está na forma:

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Onde a , b , c são as coordenadas do vetor diretor dessa reta. Queremos que a ordenada seja igual a 2 , então vou fazer uma série de operações dos dois lados da igualdade, pra deixar apenas a ordenada y no meio. Primeiro multiplicando tanto à direita, quanto à esquerda por dois:

2 2 x + 1 3 = 3 y - 2 = 2 z + 4

E agora vou somar 2 dos dois lados:

2 2 x + 1 3 + 2 = 3 y = 2 z + 4 + 2

E reorganizando os termos dos dois lados:

2 ( 2 x + 1 + 3 ) 3 = 3 y = 2 z + 10

E por fim dividindo por 3 em ambos lados:

( 2 x + 4 ) 9 / 2 = y = 2 z + 10 3

Assim, se queremos que y = 2 , que é o que aparece ali, temos que ter a = 9 / 2 e c = 3 . Portanto o vetor é 9 2 , 2,3 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

P 1 ,   4 3 , - 3

9 2 , 2,3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

26. Em que ponto a reta que passa por A ( 2,3 , 4 ) e B ( 1,0 , - 2 ) intercepta o plano xy?
24. Calcular o ponto de interseção das retas r :y = 3 x - 1 z = 2 x + 1 e s :y = 4 x - 2 z = 3 x r : x - 2 2 = y 3 = z - 5 4 e s :x = 5 + t y = 2 - t z = 7 - 2 t r :y = 2 x - 3 z = 4 x - 10 e s : x =
24. Calcular o ponto de interseção das retas r :y = 3 x - 1 z = 2 x + 1 e s :y = 4 x - 2 z = 3 x r : x - 2 2 = y 3 = z - 5 4 e s :x = 5 + t y = 2 - t z = 7 - 2 t r :y = 2 x - 3 z = 4 x - 10 e s : x =
24. Calcular o ponto de interseção das retas r :y = 3 x - 1 z = 2 x + 1 e s :y = 4 x - 2 z = 3 x r : x - 2 2 = y 3 = z - 5 4 e s :x = 5 + t y = 2 - t z = 7 - 2 t r :y = 2 x - 3 z = 4 x - 10 e s : x =
Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e éé, simultaneamente, ortogonal às retas r 1 e r 2 , nos casos: b )A 0,0 , 0 ,r 1 : x 2 = y 1 = z - 3 2 e r 2 : x = 3 t y = - t + 1 z = 2