10 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.

Passo 1

Um operador F ser idempotente significa que:

F 2 = F

Então só precisamos mostrar que se F é idempotente, então:

I - F 2 = I - F

Passo 2

Nós vimos no finalizinho da seção que quando temos uma potenciação com expoentes naturais de um operador, a gente esta fazendo uma aplicação composta assim:

F 2 = F ∘ F

Vamos aplicar isso no operador que queremos mostrar que é idempotente:

I - F 2 = I - F ∘ I - F

Pela propriedade (III) da Definição 3 podemos escrever o seguinte:

I - F ∘ I - F = I - F ∘ I - I - F ∘ F

E pela propriedade (III) da Definição 2 podemos escrever o seguinte:

I - F ∘ I - I - F ∘ F = I ∘ I - F ∘ I - I ∘ F + F ∘ F

Já conseguimos abrir nossa expressão, agora vamos simplifica-la.

Passo 3

Como sabemos que I e F são idempotentes

I ∘ I - F ∘ I - I ∘ F + F ∘ F = I - F ∘ I - I ∘ F + F

Sabemos que o operador identidade não altera o vetor, dessa forma:

I ∘ F = F

e

F ∘ I = F

Substituindo:

I - F ∘ I - I ∘ F + F = I - F - F + F

Podemos somar os operadores, então:

I - F - F + F = I - F

Com isso mostramos que:

I - F 2 = I - F

Prontinho!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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