Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 10

10 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.

Passo 1

Um operador ser idempotente significa que:

Então só precisamos mostrar que se é idempotente, então:

Passo 2

Nós vimos no finalizinho da seção que quando temos uma potenciação com expoentes naturais de um operador, a gente esta fazendo uma aplicação composta assim:

Vamos aplicar isso no operador que queremos mostrar que é idempotente:

Pela propriedade (III) da Definição 3 podemos escrever o seguinte:

E pela propriedade (III) da Definição 2 podemos escrever o seguinte:

Já conseguimos abrir nossa expressão, agora vamos simplifica-la.

Passo 3

Como sabemos que e são idempotentes

Sabemos que o operador identidade não altera o vetor, dessa forma:

Substituindo:

Podemos somar os operadores, então:

Com isso mostramos que:

Prontinho!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Repita as instruções do Exercício 7 com:A = [[[2,1,0],[1,2,0],[0,0,10]]] ; x_0 = [[[1],[1],[1]]]

Considere as matrizes A = - 1 0 0 0ex 0 = a b Onde x 0 é um vetor unitário e a ≠ 0 . Mostre que, embora a matriz A seja simétrica e tenha um autovalor dominante, a sequência de potência (1) no Teorema

Repita o Exercício 12, mas dessa vez pare quando todas as entradas correspondentes em duas aproximações sucessivas de autovalores diferirem por menos de 0,01 em valor absoluto.

Nos Exercícios 3-4, aplique o método das potências com mudança de escala euclidiana à matriz A , começando com x 0 e parando em x 4 . Compare a aproximação resultante com o valor exto do autovalor dom

Sejam A = 2 - 1 - 1 2 :x 0 = 1 0 (a) Use o método das potências com mudança de escala de entrada máxima para aproximar um autovetor dominante de A . Comece com x 0 , arredonde todos os cálculos em trê