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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 5

Seja T : R 2 → R 3 definida por

T x 1 x 2 = x 1 + 2 x 2 - x 1 0

  1. Encontre a matriz T B ' , B em relação ás bases B = { u 1 ,   u 2 } e B ' = { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } , em que u 1 = 1 3         e         u 2 = - 2 4

    2. v 1 = 1 1 1 ,     v 2 = 2 2 0 ,     v 3 = 3 0 0

  2. Verifique que a Fórmula (5) vale com qualquer vetor em R 2 .

Passo 1

Show de bola então galera, pra gente encontrar a matriz T B ' , B , precisamos encontrar cada transformação da base B e de acordo com a Fórmula (4), temos que dada a base B = { u 1 ,   u 2 ,   ⋯ ,   u n }

T B ' , B = T u 1 B ' T u 2 B ' ⋯ T u n B ' ]  

Passo 2

Então na letra (a), temos

T u 1 B ' = T 1 3 = 1 + 2 ( 3 ) - 1 0 = 7 - 1 0

T u 2 B ' = T - 2 4 = - 2 + 2 ( 4 ) - ( - 2 ) 0 = 6 2 0

Logo

7 ,   - 1 ,   0 = a 1 ,   1 ,   1 + b 2 ,   2 ,   0 + c 3 ,   0 ,   0 = a + 2 b + 3 c = 7 a + 2 b + 0 c = - 1 a + 0 b + 0 c = 0 ⇒ a = 0 b = - 1 2 c = 8 3

6 ,   2 ,   0 = a 1 ,   1 ,   1 + b 2 ,   2 ,   0 + c 3 ,   0 ,   0 = a + 2 b + 3 c = 6 a + 2 b + 0 c = 2 a + 0 b + 0 c = 0 ⇒ a = 0 b = 1 c = 4 3

Portanto

T B ' , B = 0 0 - 1 2 1 8 3 4 3

Passo 3

Na letra (b), temos o vetor x → = ( x 1 ,   x 2 ) , logo de acordo com a Fórmula (5)

T B ' , B x B = T ( x ) B ' ⇒ 0 0 - 1 2 1 8 3 4 3 x 1 x 2 = 0 - 1 2 x 1 + x 2 8 3 x 1 + 4 3 x 2

Portanto a matriz T B ' , B satisfaz a Fórmula (5).

Resposta

  1. T B ' , B = 0 0 - 1 2 1 8 3 4 3 .
  2. Demonstração.
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