Enunciado

Prove, utilizando a Proposição 6-5, que ( a → ,   b → ,   c → ) é LD, quaisquer que sejam u → , v → e w → .

a) a → = 2 u → + 4 v → + w →                       b → = - u → + v → 2 + 3 w → 4                   c → = v → + w → 2

b) a → = u → + 2 v → - w →                           b → = 2 u → - 3 v → + w →                 c → = 7 v → - 3 w →

c) a → = u → - 2 v → + w →                           b → = 2 u → + v → + 3 w →                 c → = u → + 8 v → + 3 w →

Passo 1

Nesse exercício, já que estamos baseados na proposição 6-5, nosso objetivo é encontrar uma combinação linear entre dois vetores que resulte no terceiro, provando assim, que são LD.

a) Repare que:

a → = - 2 b → + 5 c →

Pois:

a → = - 2 - u → + v → 2 + 3 w → 4 + 5 v → + w → 2

a → = 2 u → - v → - 6 w → 4 + 5 v → + 5 w → 2

a → = 2 u → + 4 v → + w →

Logo, como um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois, a sequência é LD :)

Passo 2

b) Repare que:

c → = 2 a → - b →

Pois:

c → = 2 u → + 2 v → - w → - 2 u → - 3 v → + w →

c → = 7 v → - 3 w →

Logo, como um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois, a sequência é LD :)

Passo 3

c) Repare que:

c → = 2 b → - 3 a →

Pois:

c → = 2 2 u → + v → + 3 w →   - 3 u → - 2 v → + w →

c → = u → + 8 v → + 3 w →

Logo, como um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois, a sequência é LD :)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Prove:a) ( 2 u → + w → ,u → - v → ,v → + w → ) é LI ⇔ ( u → - w → ,u → + v → ,u → + w → ) é LI.b) ( 2 u → + w → ,u → - v → ,v → + w → ) é LD ⇔ ( u → - w → ,u → + v → ,u → + w → ) é LD.
Prove que:a) ( u → ,v → ) é LD → ( u → ,v → ,w → ) é LD.b) ( u → ,v → ,w → ) é LI → ( u → ,v → ) é LI.c) ( u → ,v → ) é LD ⇔ ( u → + v → ,u → - v → ) é LD.
No tetraedro A B C D , sejam M , N e P , respectivamente, os pontos médios de B D ,C D e A C , e G o baricentro do triângulo M N P .a) Exprima B G → como combinação linear de B A → ,B C → ,B D → .
Suponha que ( u → ,v → ,w → ) seja LI. Dado t → , existem α ,β e γ tais que t → = α u → + β v → + γ w → (Proposição 6-8). Prove: ( u → + t → ,v → + t → ,w → + t → ) é LI ⇔ α + β + γ + 1 ≠ 0 .
Em cada caso, é descrita uma alteração efetuada na tripla LI ( u → ,v → ,w → ) . Baseando-se na sua intuição, dê um palpite: a sequência obtida após a alteração é também LI? Em seguida, tente provar q