Suponha que um espaço vetorial, 𝕍, admita uma decomposição em soma direta V = w 1 ⊕ … ⊕ w k , isto é,

(i) V = w 1 + … + w k   e

(ii) w i ∩ w 1 + … + w i - 1 + w i + 1 + … + w k = 0 - ,   p a r a   i = 1 , … , k .

Para i = 1 , … , k . , seja P i : V → V definida da seguinte forma. Seja V ∈ V . V se escreve de maneira única como V = V 1 + … . + V k , com V 1 ∈ w 1 , … , V k ∈ w k . Então, P i V = V i . Mostre que

(a) P i 2 = P i , para i = 1 , … , k

(b) P 1 + … + p k = I .

(c) P i P j = 0 , a transformação linear nula, se i ≠ j .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão suponha que um espaço vetorial, 𝕍, admita uma decomposição em soma direta V = w 1 ⊕ … ⊕ w k , isto é,

(i) V = w 1 + … + w k   e

(ii) w i ∩ w 1 + … + w i - 1 + w i + 1 + … + w k = 0 - ,   p a r a   i = 1 , … , k .

Para i = 1 , … , k . , seja P i : V → V definida da seguinte forma. Seja V ∈ V . V se escreve de maneira única como V = V 1 + … . + V k , com V 1 ∈ w 1 , … , V k ∈ w k . Então, P i V = V i . Mostre que

(a) P i 2 = P i , para i = 1 , … , k

(b) P 1 + … + p k = I .

(c) P i P j = 0 , a transformação linear nula, se i ≠ j .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Sabendo que,

V = w 1 + … + w k  

w i ∩ w 1 + … + w i - 1 + w i + 1 + … + w k = 0 - ,   p a r a   i = 1 , … , k .

Na letra (a) para,

P i 2 = P i , para i = 1 , … , k

P i 2 = P i 2 , … , P n + 1  

Na letra (b) para P 1 + … + p k = I temos,

P 1 + … + p k = 1

E por fim a letra ( c ) para,

P i P j = 0 dado i ≠ j , temos

P i P j = 1 , … , n ≠ 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) P i 2 = P i 2 , … , P n + 1  

b) P 1 + … + p k = 1

c) P i P j = 1 , … , n ≠ 0

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