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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 27

Sejam V um vetor não nulo no espaço e α , β e γ os ângulos que V forma com os vetores i → , j → , k → , respectivamente. Demonstre que cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Passo 1

Fala aeeeee, galera. Tudo bem?

Vamos definir o nosso vetor V :

V = ( a , b , c )

Sabemos que i → , j →   e   k → são os vetores canônicos, portanto:

i → = ( 1,0 , 0 )

j → = ( 0 , 1 , 0 )

k → = ( 0 , 0 , 1 )

Passo 2

O ângulo que nosso vetor V forma com o vetor i → é dado por:

cos ⁡ α = V . i → V i →

O produto interno entre V e i → é

V . i → = a , b , c . 1,0 , 0 = a

As normas desses vetores valem:

V = a 2 + b 2 + c 2

i → = 1 2 = 1

Substituindo em cos ⁡ α :

cos ⁡ α = a a 2 + b 2 + c 2

Elevando ambos os lados ao quadrado:

cos 2 ⁡ α = a 2 a 2 + b 2 + c 2

Passo 3

De maneira análoga, iremos achar para cos 2 ⁡ β e cos 2 ⁡ γ :

cos 2 ⁡ β = b 2 a 2 + b 2 + c 2

cos 2 ⁡ γ = c 2 a 2 + b 2 + c 2

Assim, temos que:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

a 2 a 2 + b 2 + c 2 + b 2 a 2 + b 2 + c 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 = 1

a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 = 1

1 = 1

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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