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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 4e

Sejam V =   R 3   e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 e   v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .

Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam).

e )   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2

Passo 1

Temos os 4 axiomas:

  • u ∙ v = v ∙ u
  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w
  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )
  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

Passo 2

Vamos para os axiomas então:

  • u ∙ v = v ∙ u

    • x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 + z 2 z 1 - x 1 y 2 - x 2 y 1 (ok)

  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w w = x 3 , y 3 , z 3

    • x 1 , y 1 , z 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 ,   z 2 + z 3

    = x 1 x 2 + x 3 + y 1 y 2 + y 3 + z 1 z 2 + z 3 - x 1 y 2 + y 3 - x 2 + x 3 y 1

    = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2 + x 1 x 3 + y 1 y 3 + z 1 z 3 - x 3 y 1 - x 1 y 3     ( o k )

  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )

    •                             α x 1 ,   α y 1 ,   α z 1 ) x 2 , y 2 , z 2 = α x 1 x 2 + α y 1 y 2 + α z 1 z 2 - α x 2 y 1 - α x 1 y 2 =

    α ( x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2 ) (ok)

  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

x 1 , y 1 , z 1 x 1 , y 1 , z 1 = x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 ≥ 0

Isso é verdadeiro, não tem nenhum valor para x 1 , y 1 e   z 1 que faça com seja negativo. Além disso, só vai zerar se u = 0 .

Logo, os axiomas conferem, e a função é um produto interno.

Resposta

Sim.

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Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Calcular o produto interno dos vetores u = 1,1ev = ( - 3,2 ) segundo cada produto do exercício anterior.
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .b) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 - y 1 y 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2